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:<math display="block">\displaystyle\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prime}}p</math> |
:<math display="block">\displaystyle\mathrm{rad}(n)=\prod_{\scriptstyle p\mid n\atop p\text{ prime}}p</math> |
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⚫ | 整数的根运算对简化[[abc猜想]]的表述起到重要作用。<ref name=abc>{{cite book |contribution=V.1 The ABC Conjecture |title=The Princeton Companion to Mathematics |page=681 |first=Timothy |last=Gowers |publisher=Princeton University Press |year=2008 |contribution-url=https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA681 |title-link=The Princeton Companion to Mathematics |access-date=2020-04-08 |archive-date=2021-12-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211223121649/https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA681 |dead-url=no }}</ref> |
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==例子== |
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在不与开方运算里的“[[方根|根]](root)”的概念混淆的情况下,也常简称“根”。例如我们有 |
在不与开方运算里的“[[方根|根]](root)”的概念混淆的情况下,也常简称“根”。例如我们有 |
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\operatorname{rad}(504) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42</math> |
\operatorname{rad}(504) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42</math> |
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⚫ | 整数的根运算对简化[[abc猜想]]的表述起到重要作用。<ref name=abc>{{cite book |contribution=V.1 The ABC Conjecture |title=The Princeton Companion to Mathematics |page=681 |first=Timothy |last=Gowers |publisher=Princeton University Press |year=2008 |contribution-url=https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA681 |title-link=The Princeton Companion to Mathematics |access-date=2020-04-08 |archive-date=2021-12-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211223121649/https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA681 |dead-url=no }}</ref> |
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所有正整数的根组成如下数列: |
所有正整数的根组成如下数列: |
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1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... {{OEIS|id=A007947}}. |
1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... {{OEIS|id=A007947}}. |
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==性質== |
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* <math>rad(n)</math>是[[積性函數]]。 |
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* 對於任意整數<math>n</math>而言,<math>rad(n)</math>是其最大的[[無平方因子]]因數,故<math>rad(n)</math>又稱<math>n</math>的無平方核心(square-free kernel)。<ref>{{cite OEIS|A007947}}</ref>截至目前為止,並無在多項式時間內計算<math>n</math>的無平方部分的算法。<ref>{{Cite book|last=Adleman|first=Leonard M.|author1-link= Leonard Adleman |last2=McCurley|first2=Kevin S.|author2-link=Kevin McCurley (cryptographer)|contribution=Open Problems in Number Theoretic Complexity, II|title=Algorithmic Number Theory: First International Symposium, ANTS-I Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=877|publisher=Springer|mr=1322733|pages=291–322|doi=10.1007/3-540-58691-1_70|citeseerx=10.1.1.48.4877}}</ref> |
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* <math>rad(n)</math>可推廣為<math>n</math>最大的無<math>t</math>次方因子因數<math>\mathrm{rad}_t</math>,而<math>\mathrm{rad}_t</math>是一個有如下定義的積性函數: |
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** <math display=block>\mathrm{rad}_t(p^e) = p^{\mathrm{min}(e, t - 1)}</math> |
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** <math>t=3</math>及<math>t=4</math>的狀況分別由{{OEIS2C|A007948}}和{{OEIS2C|A058035}}列舉。 |
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* 根基的表達式出現於[[abc猜想]]中,,而這猜想表示說,對於任意的<math>\varepsilon > 0</math>,都有一個<math>K_\varepsilon</math>,使得對於任意滿足<math>a+b=c</math>且[[互質]]的三元數組<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言,都有以下的關係:<ref name=abc/> |
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** <math display=block>c < K_\varepsilon\, \operatorname{rad}(abc)^{1 + \varepsilon}</math> |
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* 對於任意整數<math>n</math>而言,[[有限環]]<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>的所有[[幂零元]]都是<math>\operatorname{rad}(n)</math>的倍數。 |
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== 扩展阅读 == |
== 扩展阅读 == |
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== 参考资料 == |
== 参考资料 == |
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<references /> |
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[[Category:积性函数]] |
2023年1月24日 (二) 12:50的版本
此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2020年4月16日) |
在数论中,将正整数 n 的根基(英文:radical)定义为 n 的所有素因数(质因数)的积:
例子
在不与开方运算里的“根(root)”的概念混淆的情况下,也常简称“根”。例如我们有
所以506的根计算如下
根数列
所有正整数的根组成如下数列:
1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (OEIS數列A007947).
性質
- 是積性函數。
- 對於任意整數而言,是其最大的無平方因子因數,故又稱的無平方核心(square-free kernel)。[2]截至目前為止,並無在多項式時間內計算的無平方部分的算法。[3]
- 可推廣為最大的無次方因子因數,而是一個有如下定義的積性函數:
- 根基的表達式出現於abc猜想中,,而這猜想表示說,對於任意的,都有一個,使得對於任意滿足且互質的三元數組、、而言,都有以下的關係:[1]
- 對於任意整數而言,有限環的所有幂零元都是的倍數。
扩展阅读
参考资料
- ^ 1.0 1.1 Gowers, Timothy. V.1 The ABC Conjecture. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008: 681 [2020-04-08]. (原始内容存档于2021-12-23).
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A007947. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Adleman, Leonard M.; McCurley, Kevin S. Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic Number Theory: First International Symposium, ANTS-I Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 877. Springer. : 291–322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877 . MR 1322733. doi:10.1007/3-540-58691-1_70.