拉普拉斯逆变换

在数学中，函数F ( s ) 的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数f ( t ) ，满足如下性质：

${\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),$

其中，${\mathcal {L}}$表示拉普拉斯变换。

可以证明：如果函数F(s) 具有拉普拉斯逆变换f(t)，则f(t) 唯一（仅考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。

因其许多性质，正反拉普拉斯变换在线性动态系统的分析中颇有可为。

梅林反演公式

拉普拉斯逆变换的积分形式，称为梅林反演公式、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分，由线积分定义：

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds$

积分路径是复平面中的垂线 Re(s ) = γ，其中γ大于F(s ) 的所有奇点的实部，且F(s )在积分路径上有界（例如积分路径全部位于F(s)收敛区域内）。当所有奇点位于左半平面内，或F(s)是整函数时，可以将γ 置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。

在实践中，复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。

珀斯特反演公式

拉普拉斯变换的珀斯特反演公式（英文：Post's inversion formula）以埃米尔·波斯特 (Emil Post)命名， 是一个看似简便但不常使用的拉普拉斯逆变换计算公式。

公式表述如下：设f(t )为区间[0, +∞) 的指数阶函数，即存在实数b ，使得f(t )满足：

$\sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty$

则对于任意s > b ，f (t ) 的拉普拉斯变换均存在且对于s无限可微。此外，如果F(s )是f (t ) 的拉普拉斯变换，则拉普拉斯逆变换如下：

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)$

对于t > 0，其中F ^{( k )}是F对s的k阶导数。

分析公式可以看出，该方法需要计算函数的任意高阶导数，这在大多数应用中是不切实际的。

随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分评估导数。

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要F(s)的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能可以实现对黎曼猜想的渐近分析。

软件工具

• InverseLaplaceTransform：在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解
• 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演
• ilaplace：在MATLAB中求拉普拉斯逆变换的解析解
• Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演
• Matlab中基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演

相关条目

• 傅里叶逆变换
• 泊松求和公式

相关书目

• Davies, B. J., Integral transforms and their applications 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4 
• Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D., Handbook of integral equations, London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3 
• Boas, Mary, Mathematical Methods in the physical sciences, John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1  (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
• Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946 
• Elementary inversion of the Laplace transform. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

外部链接

• EqWorld 的积分变换表

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