布豐投針問題

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Buffon needle.gif

18世紀,布豐提出以下問題:設我們有一個以平行且等距木紋舖成的地板(如右圖),現在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的,求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題(又译“蒲丰投針問題”)。

使用微分幾何能找到此題的解,並得出一個求π蒙特·卡羅方法

解法[编辑]

設針的長度是\ell,平行線之間的距離為tx為針的中心和最近的平行線的距離,\theta為針和線之間的銳角

x \in [0,t/2]機率密度函數 \frac{2}{t}\,dx

\theta \in [0,\pi/2]的機率密度函數為 \frac{2}{\pi}\,d\theta

x,\theta兩個隨機變數互相獨立,因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的

 \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta

x \le \frac{\ell}{2}\sin\theta,針和線相交。

求上式的積分,得針與線相交的機率:

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{(\ell/2)\sin\theta}  \frac{4}{t\pi}\,dx\,d\theta = \frac{2\ell}{t\pi}.

n支針,其中有h支針與線相交的機率是:

\frac{h}{n} = \frac{2\ell}{t\pi},

由此可求得π:

\pi = \frac{2\ell n}{th}

Lazzarini的估計[编辑]

1901年意大利數學家Mario Lazzarini嘗試進行此實驗。他拋了3408次針,得到π的近似值為355/113。

Lazzarini選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況,針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交,π約等於5/3 \times n/x。分母、分子少於五位數字,沒有比355/113更好的π的近似值了。因此,可以列式355/113 = 5/3 \times n/x,得x = 113n/213

為求x的值接近這個數,可以重覆拋213次針,若有113次是成功的,便可終止實驗,宣布這個方法求π值準確度不低;否則,就再拋213次針,希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。Lazzarini做了3408=213 \times 16次。