比尔-朗伯定律

比尔-朗伯定律（Beer–Lambert law），又称比尔定律、比耳定律、朗伯-比尔定律、布格-朗伯-比尔定律（Bouguer–Lambert–Beer law），是光吸收的基本定律，适用于所有的电磁辐射和所有的吸光物质，包括气体、固体、液体、分子、原子和离子。比尔-朗伯定律是吸光光度法、比色分析法和光电比色法的定量基础。

概述

一束单色光照射于一吸收介质表面，在通过一定厚度的介质后，由于介质吸收了一部分光能，透射光的强度就要减弱。吸收介质的浓度愈大，介质的厚度愈大，则光强度的减弱愈显著，其关系为：

$\ A = \log_{10} {\frac{I_0}{I_t}} = \log_{10} {\frac{1}{T}} = K \cdot l \cdot c$

其中：

• $\ A$：吸光度；
• $\ I_0$：入射光的强度；
• $\ I_t$：透射光的强度；
• $\ T$：透射比，或称透光度；
• $\ K$：系数，可以是吸收系数或摩尔吸收系数，见下文；
• $\ l$：吸收介质的厚度，一般以 cm 为单位；
• $\ c$：吸光物质的浓度，单位可以是 g/L 或 mol/L。

比尔-朗伯定律的物理意义是，当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时，其吸光度 $\ A$ 与吸光物质的浓度 $\ c$ 及吸收层厚度 $\ l$ 成正比。

当介质中含有多种吸光组分时，只要各组分间不存在着相互作用，则在某一波长下介质的总吸光度是各组分在该波长下吸光度的加和，这一规律称为吸光度的加合性。

系数 $\ K$：

• 当介质厚度 $\ l$ 以 cm 为单位，吸光物质浓度 $\ c$ 以 g/L 为单位时，$\ K$ 用 $\ a$ 表示，称为吸收系数，其单位为 $\rm \ L \! \cdot \! g^{-1} \! \cdot \! cm^{-1}$。这时比尔-朗伯定律表示为 $\ A = alc$。

• 当介质厚度 $\ l$ 以 cm 为单位，吸光物质浓度 $\ c$ 以 mol/L 为单位时，$\ K$ 用 $\ \kappa$ 表示，称为摩尔吸收系数，其单位为 $\rm \ L \! \cdot \! mol^{-1} \! \cdot \! cm^{-1}$。这时比尔-朗伯定律表示为 $\ A = \kappa lc$。

两种吸收系数之间的关系为：$\ \kappa = aM_m$。

历史

物质对光吸收的定量关系很早就受到了科学家的注意并进行了研究。皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）和约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）分别在1729年和1760年阐明了物质对光的吸收程度和吸收介质厚度之间的关系；1852年奥古斯特·比尔（August Beer）又提出光的吸收程度和吸光物质浓度也具有类似关系，两者结合起来就得到有关光吸收的基本定律——布格－朗伯－比尔定律，简称比尔－朗伯定律。

推导

假设一束强度为 $\ I_0$ 的平行单色光（入射光）垂直照射于一块各向同性的均匀吸收介质表面，在通过厚度为 $\ l$ 的吸收层（光程）后，由于吸收层中质点对光的吸收，该束入射光的强度降低至 $\ I_1$，称为透射光强度。物质对光吸收的能力大小与所有吸光质点截面积的大小成正比。设想该厚度为 $\ l$的吸收层可以在垂直于入射光的方向上分成厚度无限小的多个小薄层 $\rm \ d$$\ l$，其截面积为 $\ S$，而且每个薄层内，含有吸光质点的数目为 $\rm \ d$$\ n$ 个，每个吸光质点的截面积均为 $\ a$。因此，此薄层内所有吸光质点的总截面积 $\rm \ d$$\ S = a$$\rm \ d$$\ n$。

假设强度为 $\ I$ 的入射光照射到该薄层上后，光强度减弱了 $\rm \ d$$\ I$。$\rm \ d$$\ I$ 是在小薄层中光被吸收程度的量度，它与薄层中吸光质点的总截面积 $\rm \ d$$\ S$ 以及入射光的强度 $\ I$ 成正比，也就是

$\ -dI=k_1I \, dS=k_1Ia \, dn$

负号表示光强度因吸收而减弱，k₁ 为比例系数。

假设吸光物质的浓度为 c，则上述薄层中的吸光质点数为

$\ dn=6.02 \times 10^{23} cS \, dl$

代入上式，合并常数项并设 $\ k_2=6.02 \times 10^{23} k_1 \, aS$，经整理得

$\ - \frac{dI}{I} = k_2c \,dl$

对上式进行定积分，则有

$\ - \int_{I_0}^{I_1} \frac{dI}{I} = \int_{0}^{l} k_2c \, dl$

$\ - \ln{\frac{I_1}{I_0}} = k_2cl$

$\ \log_{10} \frac{I_0}{I_1} = 0.434 k_2cl = Klc$

上式中 $\ \log_{10} \frac{I_0}{I_1}$ 称为吸光度（$\ A$）；而透射光强度与入射光强度之间的比值 $\ \frac{I_1}{I_0}$ 称为透射比，或称透光度（$\ T$），其关系为：

$\ A= \log_{10} {\frac{I_0}{I_1}} = \log_{10} \frac{1}{T} = Kbc$ （请注意本段中透射光强度的符号 $\ I_1$ 与首段中的符号 $\ I_t$ 不同）

即比尔-朗伯定律。

前提

比尔-朗伯定律的成立是有前提的，即：

1. 入射光为平行单色光且垂直照射；
2. 吸光物质为均匀非散射体系；
3. 吸光质点之间无相互作用；
4. 辐射与物质之间的作用仅限于光吸收过程，无荧光和光化学现象发生。

根据比尔-朗伯定律，当吸收介质厚度不变时，$\ A$ 与 $\ c$ 之间应该成正比关系，但实际测定时，标准曲线常会出现偏离比尔-朗伯定律的现象，有时向浓度轴弯曲（负偏离），有时向吸光度轴弯曲（正偏离）。造成偏离的原因是多方面的，其主要原因是测定时的实际情况不完全符合使比尔-朗伯定律成立的前提条件。物理因素有：

1. 非单色光引起的偏离；
2. 非平行入射光引起的偏离；
3. 介质不均匀引起的偏离；

化学因素有：

1. 溶液浓度过高引起的偏离；
2. 化学反应（如水解、解离）引起的偏离；

参见

• 吸光光度法
• 原子吸收光谱
• 吸收光谱

参考资料

• 华中师范大学等编. 分析化学 上册. 北京: 高等教育出版社. 2005: 277–284. ISBN 7-04-009140-2.