黎曼映射定理

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數學中,黎曼映射定理複分析最深刻的定理之一,此定理分類了 \mathbb{C}單連通開子集。

定理陳述[编辑]

D := \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \} 為開圓盤,\Omega \subset \mathbb{C}單連通開子集。若 \Omega \neq \mathbb{C},則存在一對一的全純映射 f: \Omega \to D,使 f^{-1}: D \to \Omega 亦全純。換言之,\OmegaD 同構

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射,它保持角度定向不變。

簡史[编辑]

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果,但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年發表了第一個完整證明。

注記[编辑]

  • 黎曼映射定理乃是存在性定理,一般無法具體表示從 \OmegaD 的全純映射。
  • 定理中對 \Omega 的條件極寬鬆;舉例明之,\Omega 的邊界可能是碎形曲線,但 \Omega 仍可透過共形映射映至單位圓盤,這在直觀上是很難想像的。
  • 此定理對 \pi_1(\Omega,*)=\Z 時即告失效:環型區域(形如  \{ z \in \mathbb{C} : r < |z| < R \})之間的共形映射僅有反演縮放旋轉
  • 此定理在更高維度即不成立。
  • 黎曼曲面的框架下,此定理可推廣為單值化定理:單連通黎曼曲面必同構於 \mathbb{C}, D\mathbb{C}P^1

证明概要[编辑]

给定Uz_0,我们希望构造一个函数f,它把U映射到单位圆盘,把z_0映射到0。在这个证明概要中,我们假设U是有界的,且其边界是光滑的,就像黎曼所做的那样。记

f(z)=(z-z_0)\exp(g(z)) \,\!

其中g=u+iv是某个(待确定的)全纯函数,其实数部分为u,虚数部分为v。于是显然z0f的唯一一个零点。我们要求对于U的边界上的z|f(z)|=1,因此我们需要在边界上有u(z)=-\log|z-z_0|。由于u是全纯函数的实数部分,我们知道u一定是一个调和函数,也就是说,它满足拉普拉斯方程

于是问题变为:存在某个实值调和函数u,对所有的U都有定义,且具有给定的边界条件吗?狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在,全纯函数g柯西-黎曼方程便允许了我们求出v(这个论证依赖于U是单连通的假设)。一旦构造了uv,我们还需要验证所得到的函数f确实满足所有需要的性质。

文獻[编辑]