黎曼映射定理

在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了 $\mathbb{C}$ 的單連通開子集。

定理陳述

設 $D := \{z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}$ 為開圓盤，$\Omega \subset \mathbb{C}$ 為單連通開子集。若 $\Omega \neq \mathbb{C}$，則存在一對一的全純映射 $f: \Omega \to D$，使 $f^{-1}: D \to \Omega$ 亦全純。換言之，Ω 與 D 同構。

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射，它保持角度與定向不變。

簡史

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果，但其證明不完整。Constantin Carathéodory 在1912年發表了第一個完整證明。

注記

• 黎曼映射定理乃是存在性定理，一般無法具體表示從 Ω 至 D 的全純映射。
• 定理中對 Ω 的條件極寬鬆；舉例明之，Ω 的邊界可能是碎形曲線，但 Ω 仍可透過共形映射映至單位圓盤，這在直觀上是很難想像的。
• 此定理對 $\pi_1(\Omega,*)=\Z$ 時即告失效：環型區域（形如 $\{ z \in \mathbb{C} : r < |z| < R \}$）之間的共形映射僅有反演、縮放與旋轉。
• 此定理在更高維度即不成立。
• 在黎曼曲面的框架下，此定理可推廣為單值化定理：單連通黎曼曲面必同構於 $\mathbb{C}, D$ 或 $\mathbb{C}P^1$。

证明概要

给定U和z₀，我们希望构造一个函数f，它把U映射到单位圆盘，把z₀映射到0。在这个证明概要中，我们假设U是有界的，且其边界是光滑的，就像黎曼所做的那样。记

$f(z)=(z-z_0)\exp(g(z)) \,\!$

其中g = u + iv是某个（待确定的）全纯函数，其实数部分为u，虚数部分为v。于是显然z₀是f的唯一一个零点。我们要求对于U的边界上的z有 | f(z) | = 1，因此我们需要在边界上有u(z) = − log  | z − z₀ | 。由于u是全纯函数的实数部分，我们知道u一定是一个调和函数，也就是说，它满足拉普拉斯方程。

于是问题变为：存在某个实值调和函数u，对所有的U都有定义，且具有给定的边界条件吗？狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在，全纯函数g的柯西-黎曼方程便允许了我们求出v（这个论证依赖于U是单连通的假设）。一旦构造了u和v，我们还需要验证所得到的函数f确实满足所有需要的性质。

文獻

• John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
• John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
• Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Göttingen, 1851