Ext函子

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同調代數中,Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲,但其應用遍佈許多領域。

定義[编辑]

\mathcal{C} 為有充足內射元的阿貝爾範疇,例如一個 R 上的左範疇 R-\mathbf{Mod}。固定一對象 A,定義函子 T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-),此為左正合函子,故存在右導函子 R^\bullet T_A(-),記為 \mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)。當 \mathcal{C}=R-\mathbf{Mod} 時,常記之為 \mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)

根據定義,取 B內射分解

J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0

並取 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-),得到

\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longleftarrow 0

去掉首項 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B),最後取上同調群,便得到 \mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)

另一方面,若 \mathcal{C} 中也有充足射影元(例如 R-\mathbf{Mod}),則可考慮右正合函子 G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B) 及其左導函子 L_\bullet G_B(-),可證明存在自然同構 L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)。換言之,對 A射影分解

P(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0

並取 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B),得到

\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P(A), B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longrightarrow 0

去掉尾項 \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B),其同調群同構於 \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)

基本性質[编辑]

\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B'') \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B'') \to \cdots
  • 承上,若 \mathcal{C} 有充足的射影元,則對第一個變數也有長正合序列;換言之,對每個短正合序列  0 \to A' \to A \to A'' \to 0,有長正合序列
\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A'', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A'', B) \to \cdots

譜序列[编辑]

今設 A,B 為含單位元的,並固定一環同態 A \to B。則由雙函子的自然同構

\mathrm{Hom}_B(-, \mathrm{Hom}_A(B,-)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, -)

導出格羅滕迪克譜序列:對每個 B-模 MA-模 N,有譜序列

E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(M, \mathrm{Ext}^q_A(B, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N)

這個關係稱為換底

Ext函子與擴張[编辑]

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說,給定兩個對象 A, B \in \mathcal{C},在擴張

0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0

的等價類與 \mathrm{Ext}_\mathcal{C}^1(A,B) 之間有一一對應,下將詳述。

對任兩個擴張

0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0
0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0

可以構造其 Baer 和0 \rightarrow B \rightarrow C \times_A C' / \Delta \rightarrow A \rightarrow 0,其中 \Delta := (1,-1)(C \sqcup_B C')反對角線)。這在等價類上構成一個群運算,可證明此群自然地同構於 \mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,B)

對更高階的擴張,同樣可定義等價類;對任兩個 n-擴張(n>1)

0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0
0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow 0

此時的 Baer 和定為

0 \rightarrow B \rightarrow Y_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X''_1\rightarrow A\rightarrow 0

其中 A := X_1 \times_A X_1'/\Delta_1(反對角線 \Delta_1 之定義同上),Y_n := X_n \sqcup_B X_n'。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算,此群自然同構於 \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A,B)。藉此,能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子[编辑]

文獻[编辑]

  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1