哈特格斯數

在數學特別是公理化集合論中，哈特格斯數（Hartogs number）是一類特殊的基數。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年從策梅洛-弗蘭克爾集合論中單獨導出（沒有使用選擇公理），用於證明對任意給定的良序集，至少有一個良序集的基數大於它。

然而，要構造哈特格斯數其實並不需要從良序集出發：對任意集合$X$，與之對應的哈特格斯數是不與$X$的任何子集等勢的最小序數$\alpha$。如果$X$並非良序的話，我們其實不能說$\alpha$一定是勢大於$X$的最小良序集；但是，我們仍然可以確定$\alpha$的勢至少不小於——或者說大於等於——$X$的勢。從$X$到$\alpha$的映射，被稱作哈特格斯函數（Hartogs's function）。

證明

由集合論的一些基本定理可以很容易證明哈特格斯數的存在：

令

$\alpha =\{\beta \in \mathbf {Ord} |\exists i:\beta \hookrightarrow X\}$

為所有滿足「存在從該序數$\beta$到集合$X$的單射」的序數$\beta$組成的類。

首先，我們來證明$\alpha$是集合：

1. 由冪集公理，$X\times X$是集合。
2. 再由冪集公理，${\mathcal {P}}(X\times X)$是集合。
3. 由分離公理，$X$的所有自反良序子集組成的類$W$是集合（因為它是從${\mathcal {P}}(X\times X)$中分離得到）。
4. 由替換公理可知，$W$中良序集的序類型是集合——該集合正是$\alpha$。

接下來，由於序數的傳遞集也是序數，因此$\alpha$是序數。更進一步地，不存在從$\alpha$到$X$的單射——否則就會導致$\alpha \in \alpha$的矛盾（因為$\alpha$是序數，這也就是說$\alpha <\alpha$）。最後，$\alpha$也是滿足這一性質的最小序數，否則，如果有一序數$\beta <\alpha$，那麼$\beta \in \alpha$，也就是說$\exists i:\beta \hookrightarrow X$。

而不存在$\alpha$到$X$的單射也就意味着$\alpha$與$X$的任意子集都不等勢。

歷史評價

值得一提的是，在1915年，哈特格斯能夠使用的數學工具中既不包括馮·諾伊曼序數也不包括替換公理，因此他的結論是單純建立在策梅洛集合論上的，導致其與現今的闡述有很大的不同。相反地，他當時考慮的是$X$的良序子集的同構類的集合，以及這一集合上「$A<B$若且唯若$A$同構於$B$的真前段」的關係。哈特格斯證明了存在一個良序集大於$X$的任意良序子集。（這是歷史上第一次真正構造出不可數良序集。）然而，他的真正目的其實是證明基數三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（進一步則等價於選擇公理）。

參見

• 後繼基數（Successor cardinal）
• 阿列夫數

參考文獻

• Hartogs number. [2019-05-20]. （原始內容存檔於2017-02-01）. 
• 郝兆寬 楊躍. 集合论：对无穷概念的探索. 復旦大學出版社. 2015-09. ISBN 9787309107104 （中文）.