度规函数 是数学 凸分析 的一个重要函数。设
E
{\displaystyle E}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
向量空间 ，有需要时可以假设为拓扑向量空间 。设
C
{\displaystyle C}
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle C}
p
{\displaystyle p}
E
{\displaystyle E}
R
∪
{
+
∞
}
{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
p
(
x
)
=
inf
{
λ
>
0
∣
x
∈
λ
C
}
{\displaystyle p(x)=\inf \,\{\lambda >0\,\mid \,x\in \lambda C\}}
如果
C
{\displaystyle C}
空集 ，定义
p
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle p(x)=+\infty }
从定义立刻得到以下结果，可以进一步说明度规函数：
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
⊂
C
⊂
{
x
∣
p
(
x
)
≤
1
}
{\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}\subset C\subset \{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}
若
C
{\displaystyle C}
E
{\displaystyle E}
开集 ，那么
C
=
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
{\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)<1\}}
若
C
{\displaystyle C}
E
{\displaystyle E}
闭集 ，那么
C
=
{
x
∣
p
(
x
)
≤
1
}
{\displaystyle C=\{x\,\mid \,p(x)\leq 1\}}
度规函数符合次加性 ，因此是凸函数 。
只取有限值的条件 [ 编辑 ] 包含
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
C
{\displaystyle C}
吸收的 。
同样地可立刻看出这条件当
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
内点 时成立。易证逆命题在有限维时成立：简洁做法是看到
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
{
x
∣
p
(
x
)
<
1
}
{\displaystyle \{x\,\mid \,p(x)<1\}}
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
当
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
边界 ，其他正数值的水平面是其位似形。如果有不在任一个水平面上的点，函数在该点取值为
0
{\displaystyle 0}
最后再补充一点。在实向量空间时，
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
半范数 ；在复向量空间也有同样结论，只需把对称的定义，修改为与任何模为1的复数相乘都不变。
原点外不取0值的条件 [ 编辑 ] 从定义看出度规函数在原点外一点
x
0
{\displaystyle x_{0}}
0
{\displaystyle 0}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
因此立刻可知在赋范向量空间 内，有界凸集的度规函数不在原点外取
0
{\displaystyle 0}
逆命题对有限维空间内的闭凸集成立，用半径为1的球面的紧致性 证明。
设
C
{\displaystyle C}
0
{\displaystyle 0}
C
{\displaystyle C}
有界 当且仅当其度规函数除原点外不取
0
{\displaystyle 0}
在凸集 的几何中，度规函数是有用的工具，能把纯几何问题（研究超平面 ），转变成纯分析问题（研究超平面的方程）。在凸集分离 和支撑超平面 理论的一个基础结果，就是哈恩-巴拿赫定理 的几何形式，其中的证明关键，在观察到对适合方程
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
f
{\displaystyle f}
p
{\displaystyle p}
p
≤
f
{\displaystyle p\leq f}
参考书目 [ 编辑 ] Jean-Baptiste Hiriart-Urruty and Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis , coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001, ISBN 3540422056 , p. 128-130
