討論:序數

Wshun原來老的版本

Wshun原來老的版本過於繁瑣，現轉移到討論頁，採納英文版最新的版本。--Mountain 12:03 2006年7月28日 (UTC)

在數學上，序數是用以把不同的良序關係分類。若一個集合內所有的子集內都有極小元，就是良序集。有限集合的序數，其意義與日常用語中的「序數」相近（見上段），例如天干的集合的序數是 12——這是指可把 子→0 丑→1 寅→2 ... 亥→11 排列起來。注意我們是由 0 開始，這是基於理論上的方便。

請看以下三種關係：

1. a<b<c
2. b<a<c
3. a<b a<c

前兩者的序數都是 3；最後的不是良序關係，沒有序數。

無限集合的序數，其意義難以用日常用語表達。舉例說，整數集不是良序（它沒有最小元），故不對應任何序數。當然根據良序原則，任何集合也可變成良序集。請看以下兩種良序關係：

1. 0<-1<1<-2<2<3<-3<...
2. 0<1<2<3<...<-1<-2<-3<...

前者的序數與自然數相同，後者是個一個新的序數。

序數的概念最先由康托爾在1897年提出，目標是推廣自然數列的特性至無窮序列。這裡的定義是由馮·諾伊曼給出的改良版本

表達不清晰

原頁面中這一段介紹文字不甚清晰, 無論是數學專業的學生還是普通數學愛好者都難以讀懂, 故置於討論頁, 求重新表達.

良序是一種允許超限歸納法的全序，超限歸納法把通常的數學歸納法推廣到無窮的情況。在以序同構為等價關係下的所有良序的等價類就是序數。每一個序數都是由更小的序數的集合構造而得。序數可以分成三類：零、後繼序數和極限序數（有著不同的共尾性）。給定一類序數，我們可以確定出這個類的第α個成員，也即，我們可以在它上面計數。一個類是閉的並且是無界的，如果它的指標函數是連續的且永不終止。我們可以在序數上定義加法、乘法和冪函數，但不能定義減法和除法。康托爾範式是序數的標準記錄法。在序數和基數之間存在一個多對一的關係。人們可以定義越來越大的序數，但它們也越來越難於表述。序數有一個自然拓撲。

Lightest (留言) 2011年5月7日 (六) 19:40 (UTC)

「序數」是否應該分兩個條目

該條目主要介紹的是數學上的「序數」，建議將條目移動至「序數 (數學)」，而語言學上的序數可另建條目介紹。——辻畠 2013年7月8日 (一) 15:05 (UTC)