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凱萊–哈密頓定理

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線性代數中,凱萊–哈密頓定理英语:Cayley–Hamilton theorem)(以數學家阿瑟·凱萊威廉·卢云·哈密顿命名)表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說:設為給定的矩陣,並設單位矩陣,則特徵多項式定義為:

其中行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言:

凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除,這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子[编辑]

舉例明之,考慮下述方陣:

其特徵多項式為

此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理:

此式可以簡化高次冪的運算,關鍵在於下述關係:

例如,為了計算,可以反覆利用上述關係式:

或是,如果要計算,也可以假設:

然後,依照前面的特徵多項式之兩解,代入後可以得到

然後解方程後求出,便可得

此外,凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

:一般而言,若矩陣可逆(即:),則可以寫成的冪次和:特徵多項式有如下形式

將方程式同乘以,便得到

定理證明[编辑]

以下考慮佈於上的矩陣。

凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若矩陣,而表其伴隨矩陣,則

,便得到。此式對所有皆成立,由於實數複數域有無窮多元素,上式等式在多項式環內成立。

,矩陣賦予一個-結構:。考慮-模,我們有-模之間的「求值態射」:

固定,對中的等式

右側取後得到,左側取後得到。明所欲證。

一个简单的证明: 令:

由:

得:

因两多项式,他们的对应项系数相等得:

在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:

得证。

抽象化與推廣[编辑]

前述證明用到係數在的矩陣的克萊姆法則,事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此,凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環上的任何有限生成自由模(向量空間是特例)。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結[编辑]