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凱萊-哈密頓定理

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線性代數中,凱萊-哈密頓定理(Cayley–Hamilton theorem)(以數學家阿瑟·凱萊威廉·卢云·哈密顿命名)表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

明確地說:設 為給定的 矩陣,並設 單位矩陣,則 特徵多項式定義為:

其中 det 表行列式函數。凱萊-哈密頓定理斷言:

凱萊-哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除,這在尋找若尔当标准形時特別有用。

例子[编辑]

舉例明之,考慮下述方陣:

其特徵多項式為

此時可以直接驗證凱萊-哈密頓定理:

此式可以簡化高次冪的運算,關鍵在於下述關係:

例如,為了計算 ,可以反覆利用上述關係式:

此外,凱萊-哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

:一般而言,若 矩陣 可逆(即:),則 可以寫成 的冪次和:特徵多項式有如下形式

將方程式 同乘以 ,便得到

定理證明[编辑]

以下考慮佈於 上的矩陣。

凱萊-哈密頓定理可以視為線性代數克萊姆法則的推論。克萊姆法則斷言:若 矩陣,而 表其餘因子矩陣,則

,便得到 。此式對所有 皆成立,由於實數複數域有無窮多元素,上式等式在多項式環 內成立。

,矩陣 賦予 一個 -結構:。考慮 -模 ,我們有 -模之間的「求值態射」:

固定 ,對 中的等式

右側取 後得到 ,左側取 後得到 。明所欲證。

一个简单的证明: 令:

由:

得:

将上式左边按t进行多项式展开得:

将上式右边展开得:

因两多项式,他们的对应项系数相等得:

在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:

得证

抽象化與推廣[编辑]

前述證明用到係數在 的矩陣的克萊姆法則,事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此,凱萊-哈密頓定理可以推廣到一個交換環 上的任何有限生成自由模 (向量空間是特例)。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。

外部連結[编辑]