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凯莱–哈密顿定理

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线性代数中,凯莱–哈密顿定理(英语:Cayley–Hamilton theorem)(以数学家阿瑟·凯莱威廉·卢云·哈密顿命名)表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程式。

明确地说:设为给定的矩阵,并设单位矩阵,则特征多项式定义为:

其中行列式函数。凯莱–哈密顿定理断言:

凯莱–哈密顿定理等价于方阵的特征多项式会被其极小多项式整除,这在寻找若尔当标准形时特别有用。

例子

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举例明之,考虑下述方阵:

其特征多项式为

此时可以直接验证凯莱–哈密顿定理:

此式可以简化高次幂的运算,关键在于下述关系:

例如,为了计算,可以反复利用上述关系式:

或是,如果要计算,也可以假设:

然后,依照前面的特征多项式之两解,代入后可以得到

然后解方程后求出,便可得

此外,凯莱–哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。

:一般而言,若矩阵可逆(即:),则可以写成的幂次和:特征多项式有如下形式

将方程式同乘以,便得到

定理证明

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以下考虑布于上的矩阵。

凯莱–哈密顿定理可以视为线性代数拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若矩阵,而表其伴随矩阵,则

,便得到。此式对所有皆成立,由于实数复数域有无穷多元素,上式等式在多项式环内成立。

,矩阵赋予一个-结构:。考虑-模,我们有-模之间的“求值态射”:

固定,对中的等式

右侧取后得到,左侧取后得到。明所欲证。

另外一个简单的证明
令:

由:

得:

因两多项式,他们的对应项系数相等得:

在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得:

得证。

抽象化与推广

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前述证明用到系数在的矩阵的克莱姆法则,事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此,凯莱–哈密顿定理可以推广到一个交换环上的任何有限生成自由模(向量空间是特例)。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

外部链接

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