击中时

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布朗运动过程的三个路径,接触到上限则结束

击中时也称为命中时首中时,是数学随机过程研究里出现的一个概念,表示一个随机过程首次接触到状态空间的某个子集的时间。在特定的例子中,也会被称为离时脱离时间)或回时首次回归时间)。

定义[编辑]

是一个有序的指标集,比如说是自然数的集合、非负实数或者是这两者的子集。中的一个元素可以被认为是一种记录时间的方式(离散或连续型)。给定一个概率空间,一个可测状态空间,设为一个随机过程,并设中的一个可测子集。那么,随机过程首次接触子集的击中时定义为以下的随机变量[1]:155

同样,可以定义首次离开子集的离时:

可以看出离时实际上也是击中时的一种,表示首次接触到要研究的子集的补集的时间。很多时候,离时也会记为,和击中时一样。

另外一种击中时是 后首次回到出发点的击中时,称为回时或首次回归时间:

例子[编辑]

  • 上标准的布朗运动过程,则对于任意(实数的)波莱尔可测子集,都可以定义首次接触的击中时,并且可以证明这样定义的击中时都是停时。
  • 如果定义标准布朗运动首次离开区间的离时为,那么这个离时也是停时,它的数学期望是:方差

首发定理[编辑]

对于给定的概率空间,随机过程首次进入状态空间中的一个可测子集的击中时也称为的首发时间(début)。首发定理说明,如果随机过程是循序可测的,那么可测子集的首发时间一定是停时。循序可测过程包括所有的左连续适应过程和右连续适应过程。首发定理的证明用到了解析集的性质。首发定理需要概率空间是完全概率空间

首发定理的逆定理指出,所有定义在某个实数时间轴的滤波上的停时,都能表示为某个状态空间子集的击中时。特别地,存在一个适应的不增随机过程,其路径几乎总是左极限右连续,并且取值为0或1,使得子集的击中时就是对应的停时。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ (英文)Rick Durrett. Probability: theory and examples,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390.