单叶函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

单叶函数univalent function)是數學領域中的複分析對函數的一種分類,若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集,而函數為单射函數,此函數即為单叶函数。

為一全純函數,且滿足下式

為单叶函数。

舉例[编辑]

任何由開集单位圆盘映射到本身的映射(其中)為单叶函数。

基本性質[编辑]

為二個複數平面中的開集連通空間,且

是一個滿足的單葉函數(有一對一的對應關係),則導數恆不為0,可逆,而且其逆元素也是全純函數。依链式法则可得到下式:

對所有中的複數皆成立。

和實函數的比較[编辑]

實解析函數和全純函數不同,上述的性質在實解析函數中不成立,考慮以下的函數:

ƒ(x) = x3。此函數也是单射函數,但在x = 0處其導數為0,其逆元素在 (−1, 1)區間中也不完全是解析函數,也不完全可微。

參考資料[编辑]

  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.