单叶函数(univalent function)是数学领域中的复分析对函数的一种分类,若一全纯函数的定义域为复数平面中的一开集,而函数为单射函数,此函数即为单叶函数。
若
为一全纯函数,且满足下式
![{\displaystyle \forall x_{1},x_{2}:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13853c1a9bceb41fa5ee75cba924af4196315e59)
则
为单叶函数。
任何由开集单位圆盘映射到本身的映射
(其中
)为单叶函数。
若
及
为二个复数平面中的开集连通空间,且
![{\displaystyle f:G\to \Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc43dbfe3c0e805cd00817634422fcbe30fb260)
是一个满足
的单叶函数(有一对一的对应关系),则
导数恒不为0,
可逆,而且其逆元素
也是全纯函数。依链式法则可得到下式:
![{\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba7a4154c92f5fd98064ca03382f1af5a913cbe)
对所有
中的复数
皆成立。
实解析函数和全纯函数不同,上述的性质在实解析函数中不成立,考虑以下的函数:
![{\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2529e6f3bebab0829b7713b9f4c1ea7b16fc9814)
由ƒ(x) = x3。此函数也是单射函数,但在x = 0处其导数为0,其逆元素在 (−1, 1)区间中也不完全是解析函数,也不完全可微。
- John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
- John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.