完美集合

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拓樸學中,一個拓樸空間的子集是完美的若且唯若他是閉集且沒有孤立點。等價地說,一個集合是完美的若且唯若,其中是所有極限點的集合(又稱為導集)。

在完美集中,每個點都可以被該集合中其他的點隨意逼近。也就是說,給定中的任意一點和該點的一個鄰域,總會存在另一個中的點,也落在該鄰域內。

例子[编辑]

以下實數線的子集皆為完美集:空集閉區間、實數線本身、以及康托爾集。其中康托爾集特別的是完全不連通的。

與其他拓樸性質的關連[编辑]

康托爾證明了實數的閉子集可以被唯一的分解為一個完美集和一個可數集的不交並。Cantor-Bendixson定理則將該性質推廣至波蘭空間的閉子集。

康托爾還證明了實數線的非空完美集的基數,也就是連續統的勢。這些結果還可以擴展到描述集合論中:

  • 完備度量空間且沒有孤立點,則康托爾空間可以被連續地嵌入中,因此的基數至少為。若可分、完備度量空間且沒有孤立點,則的基數恰好為
  • 局部緊緻郝斯多夫空間且沒有孤立點,則存在一個從康托爾空間映射到單射函數(不一定是連續的),因此的基數至少為

參見[编辑]

參考文獻[编辑]