导出范畴

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导出范畴同调代数中的一种构造,他推广并深化了传统同调代数中导出函子的理论。这一构造是格罗滕迪克在20世纪60年代初提出的,他的学生让-路易·韦迪耶在其指导下发展了相关理论。今天,导出范畴被广泛应用于代数几何D-模理论。

定义[编辑]

A阿贝尔范畴C(A)是其上链复形范畴。A的导出范畴D(A)是局部化C(A)中所有拟同构所得的范畴

通常在C(A)和D(A)之间还要再引入同伦范畴K(A),以便于计算导出范畴中的态射

D(A)是三角化范畴。有上同调函子H^n: D(A)\to AD(A)中的正合三角给出上同调的长正合列

导出函子[编辑]

F:A\to B阿贝尔范畴之间的左正合加性函子。如果A有足够多的内射对象,则可以定义F的右导出函子RF:D^+(A)\to D^+(B)。这是导出范畴之间的函子。经典同调代数中的导出函子R^nF可以表示为H^nRF

类似地,阿贝尔范畴之间的右正合加性函子有左导出函子。

导出范畴比经典理论的重要优势在于可以简单地表达复合函子的导出函子:R(G\circ F)=RG\circ RF。在经典理论中要用相对复杂的谱序列来表达这一关系。虽然导出范畴给导出函子提供了优美的理论框架,但在实际计算中往往还是要用到谱序列。

原始文献[编辑]

  • Jean-Louis Verdier, Catégories dérivées : Quelques résultats (État 0),这是韦迪耶1963年写的简短文章,由法国高等科学研究所印行,1977年稍作改动后附在SGA 4½后出版。
  • Jean-Louis Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes,这是韦迪耶1967年6月的博士论文,死后发表于Astérisque 239 (1996)