投射分解

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同調代數中,一個阿貝爾範疇 中的對象 投射分解定義為一個正合序列

或簡寫成 ,使得其中每個 皆為投射對象。對任一對象 ,任兩個投射分解至多差一個鏈複形的同倫等價

中的每個對象都有投射分解,則稱 有充足的投射元,這類範疇上能以投射分解開展同調代數的研究。典型例子包括:

  • 上的構成之範疇 ,這是交換代數的主要對象。模上投射分解的特例是自由分解,此時我們要求每個 都是自由模;由於任何模均可表成自由模的商,自由分解總是存在的。希爾伯特合衝定理斷言:若取 上的多項式環,則自由分解在有限步之內停止。
  • -模範疇 ,也就是帶有 群作用的阿貝爾群,此範疇上能定義群上同調

反例則包括一般概形 上的凝聚層範疇

與此對偶的概念是內射分解