怀特海问题

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怀特海问题,是群论的一个重要问题,由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。

给定环\Lambda上的A, B, R投射模P以及正合列R \rightarrow P \twoheadrightarrow A其中第一个箭头由单同态\mu实现,记

\mathrm{EXT}_{\Lambda}(A, B)=\mathrm{Hom(R,B)}/\mathrm{Im}(\mu^{*})

这里\mu^*是由\mu自然导出的从\mathrm{Hom}(P,B)\mathrm{Hom}(R,B)的同态。如果\Lambda 是整数环\mathbb{Z},则我们省去下标。注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模。

可以证明一个模A投射模当且仅当对于所有的模B, \mathrm{EXT}_{\Lambda}(A,B)=0

每一个自由模都是投射模。同调代数中一个经典定理说如果\Lambda是主理想整环,那么每一\Lambda自由模的子模也是自由的。特别地,整数环\mathbb{Z}上的所有自由模的子模都是自由的。因为每一个投射模都是自由模的子模,所以\mathbb{Z}上的投射模和自由模是一致的。

怀特海问题是同调代数中一个基本问题,其表述如下:

给定阿贝尔群A, \mathrm{EXT}(A,\mathbb{Z})=0 当且仅当A是自由的。

因此怀特海问题可以看作\mathbb{Z}上自由模的一个判别法则。

ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群,那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果 V=L (即可构成公理成立),那么对每一个基数\aleph_1的阿贝尔群,怀特海问题是对的。同时,如果马丁公理成立并且连续统假设不成立,那么存在一个基数为\aleph_1的阿贝尔群使得怀特海问题是错的。最终地,Shelah于1975年证明了如果V=L,那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立。