怀特海问题

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怀特海问题,是群论的一个重要问题,由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。

给定环上的投射模以及正合列其中第一个箭头由单同态实现,记

这里是由自然导出的从的同态。如果是整数环,则我们省去下标。注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模。

可以证明一个模投射模当且仅当对于所有的模

每一个自由模都是投射模。同调代数中一个经典定理说如果是主理想整环,那么每一自由模的子模也是自由的。特别地,整数环上的所有自由模的子模都是自由的。因为每一个投射模都是自由模的子模,所以上的投射模和自由模是一致的。

怀特海问题是同调代数中一个基本问题,其表述如下:

给定阿贝尔群A,当且仅当A是自由的。

因此怀特海问题可以看作上自由模的一个判别法则。

ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群,那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果(即可构成公理成立),那么对每一个基数的阿贝尔群,怀特海问题是对的。同时,如果马丁公理成立并且连续统假设不成立,那么存在一个基数为的阿贝尔群使得怀特海问题是错的。最终地,Shelah于1975年证明了如果,那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立。