懷特海問題

懷特海問題，是群論的一個重要問題，由美國數學家約翰·懷特海在1950年代提出。

給定環$\Lambda$上的模$A,B,R$，投射模$P$以及正合列$R\rightarrow P\twoheadrightarrow A$其中第一個箭頭由單同態$\mu$實現，記

$\mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=\mathrm {Hom(R,B)} /\mathrm {Im} (\mu ^{*})$，

這裡$\mu ^{*}$是由$\mu$自然導出的從$\mathrm {Hom} (P,B)$到$\mathrm {Hom} (R,B)$的同態。如果$\Lambda$是整數環$\mathbb {Z}$，則我們省去下標。注意任何一個阿貝爾群都可以看成一個整數模。

可以證明一個模$A$是投射模當且僅當對於所有的模$B,\mathrm {EXT} _{\Lambda }(A,B)=0$

每一個自由模都是投射模。同調代數中一個經典定理說如果$\Lambda$是主理想整環，那麼每一$\Lambda$自由模的子模也是自由的。特別地，整數環$\mathbb {Z}$上的所有自由模的子模都是自由的。因為每一個投射模都是自由模的子模，所以$\mathbb {Z}$上的投射模和自由模是一致的。

懷特海問題是同調代數中一個基本問題，其表述如下：

給定阿貝爾群A，$\mathrm {EXT} (A,\mathbb {Z} )=0$當且僅當A是自由的。

因此懷特海問題可以看作$\mathbb {Z}$上自由模的一個判別法則。

在ZFC下可以證明如果A是可數的阿貝爾群，那麼懷特海問題是正確的. Shelah於1974年證明了如果$V=L$（即可構成公理成立），那麼對每一個基數為$\aleph _{1}$的阿貝爾群，懷特海問題是對的。同時，如果馬丁公理成立並且連續統假設不成立，那麼存在一個基數為$\aleph _{1}$的阿貝爾群使得懷特海問題是錯的。最終地，Shelah於1975年證明了如果$V=L$，那麼懷特海問題對於所有阿貝爾群成立。