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懷特海問題

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懷特海問題,是群論的一個重要問題,由美國數學家約翰·懷特海在1950年代提出。

給定環上的投射模以及正合列其中第一個箭頭由單同態實現,記

這裏是由自然導出的從的同態。如果是整數環,則我們省去下標。注意任何一個阿貝爾群都可以看成一個整數模。

可以證明一個模投射模若且唯若對於所有的模

每一個自由模都是投射模。同調代數中一個經典定理說如果是主理想整環,那麼每一自由模的子模也是自由的。特別地,整數環上的所有自由模的子模都是自由的。因為每一個投射模都是自由模的子模,所以上的投射模和自由模是一致的。

懷特海問題是同調代數中一個基本問題,其表述如下:

給定阿貝爾群A,若且唯若A是自由的。

因此懷特海問題可以看作上自由模的一個判別法則。

ZFC下可以證明如果A是可數的阿貝爾群,那麼懷特海問題是正確的. Shelah於1974年證明了如果(即可構成公理成立),那麼對每一個基數的阿貝爾群,懷特海問題是對的。同時,如果馬丁公理成立並且連續統假設不成立,那麼存在一個基數為的阿貝爾群使得懷特海問題是錯的。最終地,Shelah於1975年證明了如果,那麼懷特海問題對於所有阿貝爾群成立。