戴尔指数

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戴尔指数英语:Theil Index)是一个衡量经济不平等[1]的统计量和其他社會不平等現象,如種族隔離[2]。戴尔指数主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的,是由荷兰计量经济学亨利·戴尔Henri Theil)提出的。

数学公式[编辑]

其公式为


T=\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i}{ T_L  } \cdot \ln{\frac{x_i}{\overline{x}}} \right)
T_L=\sum_{j=1}^N{x_j}


其中x_i为第i个人的收入,\overline{x}为平均收入,N为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例,第二项为该个人相对于均值的收入。如果每一个人都有相同的收入,即等于均值,则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入,则指数为\ln{N}

戴尔指数导自Claude Shannon的信息熵测度。设T为戴尔指数,S为Shannon的测度,则有


T=\ln(N)-S

Shannon根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项,即总收入中个人所占份额相同。

可分解性[编辑]

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如,美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和,由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为m个子群体,s_k 为群体k 的收入比例,T_k为该子群体的戴尔指数,而 \overline{x}_k 为子群体 k的平均收入,则戴尔指数为


T = \sum_{k=1}^m s_k T_{T_k} + \sum_{k=1}^m s_k \ln{\frac{\overline{x}_k}{\overline{x}}}

因此,我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数,该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

参考[编辑]

  1. ^ Introduction to the Theil index from the University of Texas
  2. ^ http://geodacenter.asu.edu/node/236