皮卡德群

  提示：此条目页的主题不是Picard modular group。

数学中，环空间X的皮卡德群，是在X上可逆层（或线丛）的同构类组成群，记作$Pic(X)$。此群的群运算为张量积。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或理想类群的广域(global)版本, 这种构造在代数几何和复流形理论中广泛使用。

此外，皮卡德群也可以定义为层上同调群

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,$

对于积分概形, 皮卡德群同构于Cartier 因数的类群。对于复流形，指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息。

因为皮卡德在代数曲面上的因数的相关研究, 这个群以他命名。

例子

• 一个戴德金整环的谱的皮卡德群是这个戴尔金整环的理想类群。
• 如果$K$ 是一个域，那么其射影空间 $P^{n}(K)$上的可逆层是扭转层${\mathcal {O}}(m),\,$所以$P^{n}(K)$的皮卡德群同构于$\mathbb {Z}$。
• 在$K$上有两个原点的仿射线的皮卡德群同构于$\mathbb {Z}$。
• $n$维复仿射空间的皮卡德群： $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$。因为指数序列正好生成了以下上同调的长序列

  $\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

并且因为$H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$

因为$\mathbb {C} ^{n}$是可收缩的 所以我们可以得出 $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$，那么$H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$

由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下结论, 可以应用Dolbeault 同构来计算:$H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$

皮卡德概形

我们可以在在皮卡德群（的可表示函子版本）上构造概形结构，即皮卡德概形，是代数几何中的重要工具，特别是在阿贝尔簇的对偶理论中。这种方法由Grothendieck (1962)构建，并由Mumford (1966)和Kleiman (2005)描述。

相关条目

• 层上同调
• Cartier除数
• 全纯线丛
• 理想班组
• 阿拉克洛夫级群
• 组栈
• 皮卡德范畴

参考资料

• Grothendieck, A., V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232 (7): 143–161, 1962 [2023-06-06], （原始内容存档于2023-06-07） 
• Grothendieck, A., VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236 (7): 221–243, 1962 [2023-06-06], （原始内容存档于2023-06-06） 
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052 
• Igusa, Jun-Ichi, On some problems in abstract algebraic geometry, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 1955, 41 (11): 964–967, Bibcode:1955PNAS...41..964I, PMC 534315 , PMID 16589782, doi:10.1073/pnas.41.11.964 
• Kleiman, Steven L., The Picard scheme, Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 235–321, 2005, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410, arXiv:math/0504020  
• Mumford, David, Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies 59, Princeton University Press, 1966, ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285, OCLC 171541070 
• Mumford, David, Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, 1970, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290