矩阵多项式

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提示:本条目的主题不是多项式矩阵

矩阵多项式数学矩阵论里的概念,指由方块矩阵作为不定元的多项式,或由方块矩阵作为变量多项式函数

定义[编辑]

给定自然数n、系数以及n阶方块矩阵A,一个关于矩阵Ad次的矩阵多项式通常写作:

其中的都是系数环中的元素。这其实是可以看作将中的多项式:

中的不定元换成了一个n阶方块矩阵A后得到的结果。P(A)A一样,也是一个n阶方块矩阵。

性质[编辑]

给定一个n阶方块矩阵A,如果一个非零多项式满足:,则称多项式f是矩阵A零化多项式。根据开莱-哈密尔顿定理特征多项式满足,所以是一个化零多项式。所有零化多项式中次数最低的称为A最小多项式,记作。所有关于A的矩阵多项式Q都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于的多项式。事实上,存在多项式,使得:

并且其中R的次数严格小于的次数。所以:

参见[编辑]

参考来源[编辑]