矩阵多项式

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矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。

定义

给定自然数n、系数环$\mathbf {R}$以及n阶方块矩阵A，一个关于矩阵A的d次的矩阵多项式通常写作：

$P(A)=\alpha _{0}\mathbf {I} _{n}+\alpha _{1}A+\alpha _{2}A^{2}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}A^{i}$

其中的$\alpha _{0},\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{d}$都是系数环$\mathbf {R}$中的元素。这其实是可以看作将$\mathbf {R} [\lambda ]$中的多项式：

$P(\lambda )=\alpha _{0}+\alpha _{1}\lambda +\alpha _{2}\lambda ^{2}+\cdots +\alpha _{d}\lambda ^{d}=\sum _{i=0}^{d}\alpha _{i}\lambda ^{i}$

中的不定元$\lambda$换成了一个n阶方块矩阵A后得到的结果。P(A)和A一样，也是一个n阶方块矩阵。

性质

给定一个n阶方块矩阵A，如果一个非零多项式$f\in \mathbf {R} [\lambda ]$满足：$f(A)=0$，则称多项式f是矩阵A的零化多项式。根据开莱－哈密尔顿定理，特征多项式$\Pi _{A}(\lambda )$满足$\Pi _{A}(A)=0$，所以$\Pi _{A}$是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为A的最小多项式，记作$\pi _{A}$。所有关于A的矩阵多项式Q都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于$\pi _{A}$的多项式。事实上，存在多项式$Q,\;R\;\in \mathbf {R} [\lambda ]$，使得：

$P=Q\pi _{A}+R$

并且其中R的次数严格小于$\pi _{A}$的次数。所以：

$P(A)=Q(A)\pi _{A}(A)+R(A)=Q(A)\cdot 0+R(A)=R(A).$