矩陣多項式
外觀
矩陣多項式是數學中矩陣論里的概念,指由方塊矩陣作為不定元的多項式,或由方塊矩陣作為變量的多項式函數。
定義
[編輯]給定自然數n、係數環以及n階方塊矩陣A,一個關於矩陣A的d次的矩陣多項式通常寫作:
其中的都是係數環中的元素。這其實是可以看作將中的多項式:
中的不定元換成了一個n階方塊矩陣A後得到的結果。P(A)和A一樣,也是一個n階方塊矩陣。
性質
[編輯]給定一個n階方塊矩陣A,如果一個非零多項式滿足:,則稱多項式f是矩陣A的零化多項式。根據開萊-哈密爾頓定理,特徵多項式滿足,所以是一個零化多項式。所有零化多項式中次數最低的稱為A的最小多項式,記作。所有關於A的矩陣多項式Q都可以通過最小多項式化簡為一個次數嚴格小於的多項式。事實上,存在多項式,使得:
並且其中R的次數嚴格小於的次數。所以: