覆盖 (拓扑学)

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数学中,若 X 是一個集合搜集 C 索引的集合中并集子集,則集合搜集 C集合 X覆盖。用符号来说,如果 C = \lbrace U_\alpha\rbrace_{\alpha \in A}X 的子集索引族,则 C 是如下条件下的覆盖(定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁)

X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}

更一般的说,如果 YX 的子集,而 CX 的子集 U_\alpha 的搜集,它的并集包含 Y,则 C 被称为是 Y 的覆盖。也就是 CY 的覆盖如果

\bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha} \supseteq  Y

拓撲學中覆蓋[编辑]

覆盖通常用在拓扑学的上下文中。如果集合 X拓扑空间,我们称 C开覆盖,如果它的每个成员都是开集(就是说每个 U_\alpha 都包含在 T 中,这里的 TX 上的拓扑)。

如果 CX 的覆盖,则 C子覆盖C 的仍覆盖 X 的子集。

X 的开覆盖被称为是局部有限的,如果对任意 X 的点x 都存在一个领域,其只与这个覆盖中有限多个集合有交集。用符号来说,C=\{U_\alpha\} 是局部有限的,如果对于任何 x \in X,存在某个 x 的邻域 N\left(x\right) 使得集合

\left\{ \alpha \in A : U_{\alpha} \cap N(x) \neq \emptyset \right\}

是有限的。

精細[编辑]

X 的覆盖 C精細(或稱加細)是 X 的新覆盖 D ,使得在 D 中的任意的一個集合,都包含在 C 的某个集合中。

用符号来说,有 覆盖 D=\{V_\beta\}_{\beta\in B}C=\{U_\alpha\}_{\alpha\in A} ,如果对任意的 V_\beta ,都存在某个 U_\alpha 使得 V_\beta \subseteq U_\alpha,我們則說 D 是覆盖 C 的精細。

所有子覆盖也是精細,反之不然。但是注意一般的说精細将比原始覆盖有更多的集合。

紧致性[编辑]

覆盖的这个词语经常用来定义与紧致性有关的拓扑性质。一个拓扑空间 X 被称为

  • 紧致的,如果所有开覆盖有有限子覆盖。
  • 林德勒夫的,如果所有开覆盖都有可数子覆盖。
  • 元紧致的,如果所有开覆盖都有一个点有有限开精細。
  • 仿紧致的,如果所有开覆盖允许局部有限、开精細。

引用[编辑]

  1. Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Introduction to Toplogy Second Edition. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40680-6 (英文). 
  2. John L. Kelly. General Topology. Princeton, NJ.: D. Van Nostrand Company, Inc. 1955 (英文).