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马吕斯定理

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马吕斯

马吕斯定理是法国物理学家艾蒂安-路易·马吕斯在1808年阐述的一条几何光学的定理。

在均匀介质中的光线束,如果有一个共点,例如从同一个点光源发射,这样的光束称为同心光束。同心光束有正交一致性,即光束中所有的一切光线,都和以同源点为中心的一切球面正交[1]。根据光在均匀介质中传播的性质,这些球面无非是光波动光前,光线自然和波前正交[2]

马吕斯定理:“正交一致性光束,经过无论多少次的反射和折射,始终保持正交一致”[1]

马吕斯定理的证明[编辑]

马吕斯定理的证明

1889年瑞利男爵在《大英百科全书》第九版《光学》条中,给出根据费马原理的证明[2]

设同源光束[MABCP]与[M'A'B'C'P']与曲面m分别在M,M'点正交;这两道光线在传播过程中经过多次反射或折射,分别与界面a相交于A,A'点;与界面b相交于B,B'点,与界面c 相交于C,C'点;经过若干反射、折射后分别到达P,P'点;令光线[MABCP]、[M'A'B'C'P'] 的光程相等;则所有等光程的P,P'的集合,形成一个曲面p。可证明光线[MABCP]与曲面p在P点正交,光线[M'A'B'C'P']与曲面p在P'点正交,即集合p是光束的正交一致性曲面。

证:

作两条附加直线M'A和P'C。令M与M'无限接近,因M'A与曲面m 垂直,光线[M'ABCP']与光线[M'A'B'C'P']之差是MM'线段的高次微小项

即[M'ABCP']~[M'A'B'C'P']。但根据费马原理的要求,[M'A'B'C'P]=[MABCP],代入前式,可得

[M'ABCP']=[MABCP];

令第一介质和最后介质的折射率分别为n,n',则消除共同线段之后可得:

由此

在M和M'无限接近时M'A=MA,于是 CP'=CP;即CP,CP'是等腰三角形的两腰,与PP'夹角相等;当其无限接近时CP,CP'合为一体,垂直于曲面p。同理可证C'P'垂直于p[3]

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Max Born and Emil Wolf p139 引用错误:带有name属性“born”的<ref>标签用不同内容定义了多次
  2. ^ 2.0 2.1 Moritz von Rohr, p21
  3. ^ Moritz von Rohr, p22
  • Max Born & Emil Wolf, Principles of Optics 7th edition, Cambridge University Press 1999 ISBN 978-0521642224
  • 莫里兹·冯·罗尔《光学仪器成像的几何学原理》Moritz von Rohr ed. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments M.M.STATIONARY,LONDON 1920