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高斯-马尔可夫定理

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统计学中,高斯-马尔可夫定理(Gauss-Markov Theorem)陈述的是:在线性回归模型中,如果误差满足零均值、同方差互不相关,则回归系数的最佳线性无偏估计(BLUE, Best Linear unbiased estimator)就是普通最小二乘法估计

  • 这里最佳的意思是指相较于其他估计量有更小方差的估计量,同时把对估计量的寻找限制在所有可能的线性无偏估计量中。
  • 值得注意的是这里不需要假定误差满足独立同分布(iid)英语iid正态分布,而仅需要满足零均值不相关同方差这三个稍弱的条件。

表述[编辑]

简单(一元)线性回归模型[编辑]

对于简单(一元)线性回归模型,

其中非随机但不能观测到的参数,非随机且可观测到的一般变量,不可观测的随机变量,或称为随机误差或噪音,因此可观测的随机变量。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  • (零均值),
  • (同方差),
  • (不相关)。

则对的最佳线性无偏估计为,


多元线性回归模型[编辑]

对于多元线性回归模型,

,

使用矩阵形式,线性回归模型可简化记为,其中采用了以下记号:

(观测值向量,Vector of Responses),

(设计矩阵,Design Matrix),

(参数向量,Vector of Parameters),

(随机误差向量,Vectors of Error)。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  • (零均值),
  • ,(同方差且不相关),其中为n阶单位矩阵(Identity Matrix)。

则对的最佳线性无偏估计为

证明[编辑]

首先,注意的是这里数据是而非,我们希望找到对于的线性估计量,记作

其中分别是矩阵。

根据零均值假设所得,

其次,我们同时限制寻找的估计量为无偏的估计量,即要求,因此有

(零矩阵),



外部連結[编辑]