加法逆元

對於一個任意數n，存在加法逆元（英語：Additive Inverse，又稱相反數），其與n的和為零（加法單位元）。n的加法逆元表示為-n。

在實數範圍內，一個數x的相反數-x，被稱為其加法逆元；相對地，一個數x的倒數1/x，則被稱為其乘法逆元。

一般定義

設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有x,y，x+y=y+x。若該集內存在一個元素0，使得對於所有x，x+0=0+x=x，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的x，存在一個x'使得x+x'=x'+x=0，則稱x'是x的加法逆元。

特殊情況

定義

若「+」符合結合律，則任意數的加法逆元是唯一的。

證明

反證法： 設$x$有兩個相異的加法逆元$x_{1}$、$x_{2}$
有$x=x+0$ 的關係。
⇒ $0=x+x_{1}=x+x_{2}$
⇒ $x_{1}=x_{2}$
產生矛盾，證訖。

例

• 向量空間：純量乘法-1
• 歐幾里得空間：以原點為中心的反演變換