上同調維數

代數中，上同調維數是群的不變量，量度群的表示的同調複雜度。上同調維數在幾何群論、拓撲學、代數數論中有重要應用。

群的上同調維數

就如大多數的同調及上同調不變量，上同調維數涉及選取「係數環」R，最常見的特例是整數環R = Z。設G是離散群，R是非零有單位元的環，RG是其群環。群G的上同調維數小於或等於n，記為cd_R(G) ≤ n，若平凡RG-模R有一個長為n的投射分解，也就是有投射RG-模P₀, …, P_n，及RG-模同態d_k: P_k→P_{k − 1}(k = 1, …, n)和d₀: P₀→R，使得對k = 1, …, n，d_k的像正是d_{k − 1}的核，且d_n有平凡核。

等價地，群G的上同調維數小於或等於n，若對任何RG-模M，G以M為係數的上同調於階k > n時消失，即H^k(G,M) = 0。

若n是最小的整數使得群G的上同調維數小於或等於n，則G的（係數R的）上同調維數等於n，記為n = cd_R(G)。

例子

以下例子中係數環R為Z。

• 自由群的上同調維數等於1。按斯托林斯－斯旺（Stallings–Swan）定理，這性質完全描述了自由群。
• 除球面外，一個緊緻連通可定向的黎曼曲面的基本群的上同調維數等於2。
• 更一般而言，一個n維的緊緻連通可定向的非球面流形的基本群的上同調維數等於n。
• 非平凡有限群的上同調維數為無限。

參見

• 群上同調

參考

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