上同调维数
外观
没有或很少条目链入本条目。 (2016年12月20日) |
代数中,上同调维数是群的不变量,量度群的表示的同调复杂度。上同调维数在几何群论、拓扑学、代数数论中有重要应用。
群的上同调维数
[编辑]就如大多数的同调及上同调不变量,上同调维数涉及选取“系数环”R,最常见的特例是整数环R = Z。设G是离散群,R是非零有单位元的环,RG是其群环。群G的上同调维数小于或等于n,记为cdR(G) ≤ n,若平凡RG-模R有一个长为n的投射分解,也就是有投射RG-模P0, …, Pn,及RG-模同态dk: Pk→Pk − 1(k = 1, …, n)和d0: P0→R,使得对k = 1, …, n,dk的像正是dk − 1的核,且dn有平凡核。
等价地,群G的上同调维数小于或等于n,若对任何RG-模M,G以M为系数的上同调于阶k > n时消失,即Hk(G,M) = 0。
若n是最小的整数使得群G的上同调维数小于或等于n,则G的(系数R的)上同调维数等于n,记为n = cdR(G)。
例子
[编辑]以下例子中系数环R为Z。
- 自由群的上同调维数等于1。按斯托林斯-斯旺(Stallings–Swan)定理,这性质完全描述了自由群。
- 除球面外,一个紧致连通可定向的黎曼曲面的基本群的上同调维数等于2。
- 更一般而言,一个n维的紧致连通可定向的非球面流形的基本群的上同调维数等于n。
- 非平凡有限群的上同调维数为无限。
参见
[编辑]参考
[编辑]- Brown, Kenneth S. Cohomology of groups. Graduate Texts in Mathematics 87 Corrected reprint of the 1982 original. New York: Springer-Verlag. 1994. ISBN 0-387-90688-6. MR 1324339. Zbl 0584.20036.
- Dicks, Warren. Groups, Trees, and Projective Modules. Lecture Notes in Mathematics 790. Berlin: Springer-Verlag. 1980. ISBN 3-540-09974-3. MR 0584790. Zbl 0427.20016. doi:10.1007/BFb0088140.
- Dydak, Jerzy. Cohomological dimension theory. Daverman, R. J. (编). Handbook of geometric topology. Amsterdam: North-Holland. 2002: 423–470. ISBN 0-444-82432-4. MR 1886675. Zbl 0992.55001.
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás. Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 101. Cambridge: Cambridge University Press. 2006. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
- Serre, Jean-Pierre. Galois cohomology. Springer-Verlag. 1997. ISBN 3-540-61990-9. Zbl 0902.12004.
- Shatz, Stephen S. Profinite groups, arithmetic, and geometry. Annals of Mathematics Studies 67. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1972. ISBN 0-691-08017-8. MR 0347778. Zbl 0236.12002.
- Stallings, John R. On torsion-free groups with infinitely many ends. Annals of Mathematics (2). 1968, 88: 312–334. ISSN 0003-486X. MR 0228573. Zbl 0238.20036.
- Swan, Richard G. Groups of cohomological dimension one. Journal of Algebra. 1969, 12: 585–610. ISSN 0021-8693. MR 0240177. Zbl 0188.07001.