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中心流形

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弹跳的球,若不考虑球在反弹时的形变,其运动可以以牛顿运动定律来描述

中心流形(center manifold)是动力系统数学理论的一部分,最早是用此概念来判断退化平衡点的稳定性。之后这个概念成为数学模型的建构基础。

若将球往上抛。可根据牛顿运动定律预测球的运动,方式是求解有其位置以及速度的微分方程,但在球反弹英语Bouncing ball时的行为就无法用牛顿运动定律来描述。在球反弹时,球会有形变,就无法用刚体的牛顿运动定律来预测系统的演进,需要用连续介质力学来描述组成球的所有粒子在形变前后的行为。 在反弹后,球的形变会快速消失,球继续依循牛顿运动定律。 若将球视为是由许多互相影响的成分所组成的系统,牛顿运动定律对球的描述,只以位置、速度及旋转方式呈现,即为变形球的中心流形 [1]。若有一系统是由许多互相影响成分所组成,而其影响效应会快速衰减,可以用中心流形,以较简单的方式来描述系统。

中心流形在分岔理论中有重要的地位,因为系统在中心流形的位置会出现特殊的行为,在多尺度物理学英语multiscale mathematics中也很重要,微尺度的长时间动态常常会受到相对简单、变数尺度较大的中心流形吸引。

定义

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系统 鞍点平衡点的中心流形(红色)及不稳定中心流形(绿色)
在2D相图上乱数选择的点,这些点的动态会指数收敛为较慢(非指数)的动态。中心流形动态的研究可以判断在原点的非双曲性不动点的稳定性

动力系统的中心流形是以系统的平衡点为基础,以球为例,就是球静止,没有变形的状态。 平衡点的中心流形包括了邻近的轨迹英语Orbit (dynamics)中,没有快速指数衰减,也没有快速指数增长的的轨迹。若以球来说,中心流形中包括了球的移动及自旋运动,但不包括球的形变(因为形变会由于阻尼力而快速衰减)。

在数学上,研究动力系统平衡点的第一步是线性化,之后计算其特征值和特征向量。 其对应特征值有负实数的特征向量(若有广义特征向量英语generalized eigenvectors的话,也包括在内)可以组成的特征空间。 对应特征值有正实数的(广义)特征向量可以组成不稳定的特征空间。 若平衡点为双曲平衡点英语hyperbolic equilibrium point(所有线性化后的特征值,实部都不为0)。Hartman-Grobman定理英语Hartman-Grobman theorem可以保证在平衡点附近的动态可以完全用特征值及特征向量来描述。

若平衡点的特征值中,有特征值的实部是零,则是对应的(广义)特征向量会组成“中心特征空间”,以球为例,就是球在不受力下刚体动力学的整个集合[2]。 若不只考虑线性化后的系统,将动力系统加上非线性或是外力的微扰,中心特征空间会变形到邻近的中心流形 [3]。 若特征值不只是实部为零,而是特征值的复数值为零(如球的例子),对应的特征空间可以更准确的对应慢流形英语slow manifold。 中心(慢)流形的行为无法由线性化来判定,因此不容易建构。

类似的道理,在稳定特征空间或不稳定特征空间加上非线性或是外力的微扰,会让系统变形到邻近的稳定流形不稳定流形 [4]。 这三种流形是不变流形中的三类例子。

动力系统,其平衡点,则系统在平衡点附近的线性化为

雅可比矩阵 可以定义以下的三种子空间:

  • 稳定子空间,是由特征值实部小于0的广义特征向量英语generalized eigenvectors所生成。
  • 不稳定子空间,是由特征值实部大于0的广义特征向量所生成。
  • 中心子空间,是由特征值实部等于0的广义特征向量所生成。

依照应用的不同,也会分类以下的子空间,例如中心稳定、中心不稳定、次中心、或是快速子空间。 这些子空间都是线性化方程的不变子空间

对应线性系统,非线性系统会有慢流形,每一种都会包括一种非线性系统的轨迹集合[5]

  • 和稳定子空间相切,有相同维度的不变流形是稳定流形.
  • 不稳定流形和不稳定子空间相切,也有相同维度。
  • 中心流形和中心子空间相切,有相同维度。若中心子空间的特征值都为0,此中心流形会称为慢流形。

中心流形的相关定理

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中心流形存在定理(center manifold existence theorem)内容是:若函数次的连续可微),则针对每一个平衡点,都存在一个有限大小的邻域,使得以下三项叙述,至少会有一项成立[6]

  • 唯一的稳定流形
  • 唯一的不稳定流形
  • (可能不唯一的)中心流形

像非线性的座标转换为正则型式英语normal form (bifurcation theory)就可以清楚的分出这三种流形[7]。有网页服务可以针对有限维的系统进行必要的电脑计算[8]

若在那些没有不稳定流形的例子中,中心流形一般会和建模有关。 中心流形出现定理提到可以选择邻域,使系统的所有解维持在会以指数收敛到中心流形上某个解的范围内。 也就是说 会以某速率值进行 [9]。 此定理也确保针对多许多的初始条件,整个系统的解会快速指数收敛到比较低维度的中心流形上。

第三个定理是近似定理,若针对某不变流形(例如),有近似表示式满足系统的微分方程,当时,其residuals为,则不变流形可以用来近似,其误差也是同一量级的,例如是

另一种反向分析

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上述的理论都是针对特定问题,想找到不变流形的性质。特别是建构一个流形来近似系统的不变流形。 另一种方式是针对给定系统,找到一个近似的系统,建构此系统的不变流形,这称为反向分析。 目的是将理论应用到范围更广的系统中,并估计误差以及有效域的大小 [10] [11]

此方法和数值建模中公认的反向误差分析英语backward error analysis完全相同。

中心流形以及非线性系统的分析

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平衡点的稳定性和其流形的“稳定性”有关,中心流形是否存在的问题也带来了有关中心流形的系统动力学问题,这可以由中心流形约化(center manifold reduction)来分析,再配合系统参数μ,可以引到分岔理论的概念。也有些网站可以进行相关计算[12][13][14][15]

例子

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简单的例子

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考虑以下系统

在原点的不稳定流形为y轴,稳定流形为平凡集{(0, 0)}。不在稳定流形上的任何轨迹都满足以下形式的方程式,其中A为实数的常。可以推得针对任意的A,可以创建中心流形,方式是将x > 0的部分,和x为非正值的X轴连接。而且,所有的中心流形都有潜在的非唯一性,不过非唯一性只会发生在变数为复数的情形下。

时滞微分方程

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另一个例子可以用中心流形来为霍普夫分岔建模,霍普夫分岔是发生在以下的时滞微分方程

参数的情形。严格来说,因为有时滞,微分方程会变成无限维。 不过可以用以下的方式来近似时滞,让系统仍为有限维度。

定义 以及适当的时滞变数 ,利用其中间值 .

在接近临界值的参数时滞微分方程可以用以下系统来近似

透过网页服务,可以找到相量 以及其共轭,中心流形为

中心流形的演进为

从此演进可以看出,系统在时,在原点是线性的不稳定,但三次非线性使其有稳定的极限环,就像经典霍普夫分岔的结果一样。

参考资料

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  1. ^ Muncaster, R.G. Invariant Manifolds In Mechanics II: Zero-dimensional Elastic Bodies With Directors. Arch. Rat. Mech. Anal. 1983, 84 (4): 375–392. Bibcode:1983ArRMA..84..375M. doi:10.1007/BF00250588. 
  2. ^ Roberts, A.J. The invariant manifold of beam deformations. Part 1: the simple circular rod. J. Elas. 1993, 30: 1–54. doi:10.1007/BF00041769. 
  3. ^ Carr, Jack. Applications of centre manifold theory. Applied Mathematical Sciences 35. Springer-Verlag. 1981. ISBN 978-0-387-90577-8. doi:10.1007/978-1-4612-5929-9. 
  4. ^ Kelley, A. The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds. J. Differential Equations. 1967, 3 (4): 546–570. Bibcode:1967JDE.....3..546K. doi:10.1016/0022-0396(67)90016-2可免费查阅. 
  5. ^ Guckenheimer & Holmes (1997), Section 3.2
  6. ^ Guckenheimer & Holmes (1997), Theorem 3.2.1
  7. ^ Murdock, James. Normal forms and unfoldings for local dynamical systems. Springer-Verlag. 2003. 
  8. ^ 存档副本. [2020-04-20]. (原始内容存档于2013-11-09). 
  9. ^ Iooss, G.; Adelmeyer, M. Topics in Bifurcation Theory. 1992: 7. 
  10. ^ Roberts, A.J. Backwards theory supports modelling via invariant manifolds for non-autonomous dynamical systems. 2019. arXiv:1804.06998可免费查阅 [math.DS]. 
  11. ^ Hochs, Peter; Roberts, A.J. Normal forms and invariant manifolds for nonlinear, non-autonomous PDEs, viewed as ODEs in infinite dimensions. J. Differential Equations. 2019, 267 (12): 7263–7312. Bibcode:2019JDE...267.7263H. arXiv:1906.04420可免费查阅. doi:10.1016/j.jde.2019.07.021. 
  12. ^ 存档副本. [2020-04-20]. (原始内容存档于2020-03-21). 
  13. ^ A.J. Roberts. Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems. Physica A. 2008, 387 (1): 12–38. Bibcode:2008PhyA..387...12R. arXiv:math/0701623可免费查阅. doi:10.1016/j.physa.2007.08.023. 
  14. ^ 存档副本. [2020-04-20]. (原始内容存档于2020-03-21). 
  15. ^ A.J. Roberts. Low-dimensional modelling of dynamics via computer algebra. Comput. Phys. Commun. 1997, 100 (3): 215–230. Bibcode:1997CoPhC.100..215R. arXiv:chao-dyn/9604012可免费查阅. doi:10.1016/S0010-4655(96)00162-2. 
  • Guckenheimer, John; Holmes, Philip, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences 42, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90819-9, corrected fifth printing .

外部链接

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