平衡点

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数学中,平衡点是相对微分方程差分方程的概念。

定义[编辑]

对于微分方程

\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n

\mathbf{f}(t,\tilde{\mathbf{x}})=0对任意t都成立,则称\tilde{\mathbf{x}}为此微分方程的平衡点

类似地,对于差分方程

\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{f}(k,\mathbf{x}_k), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n

\mathbf{f}(k,\tilde{\mathbf{x}})=\tilde{\mathbf{x}}k=0,1,2,\ldots都成立,则称\tilde{\mathbf{x}}为此差分方程的平衡点

分类[编辑]

微分方程可以被线性化为以下形式

\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}\mathbf{x}

其中\mathbf{A}\mathbf{f}(t,\mathbf{x})在平衡点\tilde{\mathbf{x}}处的雅可比矩阵。通过观察矩阵\mathbf{A}特征值的符号,可以判断平衡点\tilde{\mathbf{x}}的稳定性。

\mathbf{A}的所有的特征值的实部均不为0,则\tilde{\mathbf{x}}被称为双曲平衡点。若所有特征值的实部均为负值,则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的实部为正值,则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的实部为正,且至少有一个特征值的实部为负,则此平衡点是鞍点

关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设\mathbf{G}\mathbf{f}(k,\mathbf{x}_k)在平衡点\tilde{\mathbf{x}}处的雅可比矩阵

\mathbf{A}的所有的特征值的均不为1,则\tilde{\mathbf{x}}被称为双曲平衡点。若所有特征值的模均为小于1,则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的模大于1,则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的模大于1,且至少有一个特征值的模小于1,则此平衡点是鞍点