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切萨罗求和

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切萨罗求和(英语:Cesàro summation)也称为切萨罗平均(Cesàro mean)[1][2]切萨罗极限(Cesàro limit)[3],是由意大利的数学家恩纳斯托·切萨罗(Ernesto Cesàro)发明,是计算无穷级数和的方式。若一级数收敛至α,则其切萨罗和存在,其值为 α,而有些发散级数也可以用切萨罗求和的方式,计算出切萨罗和。可以计算切萨罗求和的级数是切萨罗可求和的级数。

切萨罗求和可视为是一种特殊的矩阵可求和法英语Matrix summability method

切萨罗求和中的“求和”一词可能会造成误解,而有关切萨罗求和的叙述和证明也和无穷级数证明的Eilenberg–Mazur swindle英语Eilenberg–Mazur swindle有关。有关切萨罗可求和级数,常被提到的是格兰迪级数,依照切萨罗求和可得其“和”为1/2

定义

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令{an}为一数列,且令

为数列前k项的部分和

.

若以下的条件成立,则此数列{an}的切萨罗和存在,且其值为α。

.

格兰迪级数的例子

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an = (-1)n+1, n ≥ 1。因此{an} 为以下的数列:

其部分和组成的数列 {sn} 为

此数列为格兰迪级数,不会收敛。

而数列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各项分别为

n趋近于无限大,切萨罗和为如下极限:

因此,数列 {an} 的切萨罗和为 1/2。

推广

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切萨罗在1890年发展了更广泛的切萨罗和,表示为(C, n),其中n为非负整数。 (C, 0) 是一般定义下的和,而(C, 1)就是上述的切萨罗和。

n>1时的(C, n) 如下所述: 对于级数Σan, 定义

(上面的指数不表示指数)且定义 Enα 为数列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 Anα。 则 Σan 的 (C, α) 和则为

若以上数值存在。[4]

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

相关条目

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注解

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  1. ^ Hardy, G. H. Divergent Series. Providence: American Mathematical Society. 1992. ISBN 978-0-8218-2649-2. 
  2. ^ Katznelson, Yitzhak. An Introduction to Harmonic Analysis. New York: Dover Publications. 1976. ISBN 978-0-486-63331-2. 
  3. ^ Henk C. Tijms. A First Course in Stochastic Models. John Wiley & Sons. 2003: 439. ISBN 978-0-471-49880-3. 
  4. ^ Shawyer and Watson pp.16-17

参考文献

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  • Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.