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标准矩

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概率论统计学中,一个概率分布标准矩是经过标准化后的中心矩(通常是较高阶的中心矩)。标准化通常是将其除以标准差的过程,这样做可以使得标准矩对缩放和离散程度皆能保持一致, 在比较不同概率分布的形状时更为方便。[1]

定义

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X为一随机变量,其概率密度函数f、平均值为  (一阶原点矩),则第k阶标准矩[2] 其中是第k阶中心矩

标准差的k次方:

以通式表示:

性质

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  • 中心矩为k次齐次函数
  • 标准矩具有缩放不变性
  • 由于上述标准矩的定义中将矩的因次消除了,因此标准矩为无因次量

常用的标准矩

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以下列出前4个标准矩:

阶数 k 定义 说明
1 一阶标准矩恒为0,

因为一阶中心矩恒为0。

2 二阶标准矩恒为1,

因为二阶中心矩即为方差

3 三阶标准矩用于定义偏度
4 四阶标准矩用于定义峰度

参见

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参考资料

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  1. ^ Ramsey, James Bernard; Newton, H. Joseph; Harvill, Jane L. CHAPTER 4 MOMENTS AND THE SHAPE OF HISTOGRAMS. The Elements of Statistics: With Applications to Economics and the Social Sciences. Duxbury/Thomson Learning. 2002-01-01: 96. ISBN 9780534371111 (英语). 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Standardized Moment. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-03-30]. (原始内容存档于2022-01-27) (英语).