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四维频率

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本条目中,向量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小则用 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如,。为了避免歧意,四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如,表示平方;而的第二个分量。

电磁学里,平面电磁波四维频率 以公式定义为

其中, 是电磁波的频率 是朝著电磁波传播方向的单位矢量

四维频率与自己的内积永远等于零:

类似地,四维角频率 以公式定义为

其中, 是电磁波的角频率

显然地,

四维波向量 与四维角频率有密切的关系,定义为

其中, 是电磁波的波向量

在本篇文章里,闵可夫斯基度规的形式被规定为 ,这是参考了约翰·杰克森John D. Jackson)的著作《经典电动力学》中所采用的形式;并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定

劳仑兹变换

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给予两个惯性参考系 ;相对于参考系 ,参考系 以速度 移动。对于这两个参考系,相关的劳仑兹变换矩阵 [1]

其中,劳仑兹因子贝他因子 分别是参考系 对于参考系 的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度 的贝他因子。

设定一个朝著 方向传播于真空的平面电磁波,对于参考系 ,这平面电磁波以公式表达为

其中, 分别是电磁波的电场磁场 分别是其波幅 是四维波向量,四维位置 是位置, 分别垂直于 ,而且

那么,对于参考系 ,这平面电磁波以公式表达为

四维波向量 之间的关系为

经过一番运算,可以求得

其中, 是参考系 相对于参考系 四维速度 是参考系 相对于参考系 的速度。

在真空里,四维频率与四维波向量之间的关系为

所以,

这也是参考系 的观察者所观察到的频率。

参阅

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参考文献

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  1. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1