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帕德近似

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亨利·帕德

帕德近似(英语:Padé approximant)是法国数学家亨利·帕德发明的有理多项式近似法。帕德近似往往比截断的泰勒级数准确,而且当泰勒级数不收敛时,帕德近似往往仍可行,所以多用于在计算机数学中。

例如的泰勒级数

只有在时收敛,不如原函数广泛。

定义

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给定自然数m和正整数n, 函数 的[m,n]阶帕德近似为

并且

对于给定的函数的[m,n]阶帕德近似是唯一的。

函数的帕德近似记为

例子

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正弦函数

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的6+6=12阶泰勒级数展开为

的12阶泰勒级数全同:

其泰勒级数为

与exp(x)本身的泰勒级数展开的前10阶完全等同:

又如


雅可比椭圆函数

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第一类 5 阶贝塞尔函数

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菲涅耳积分

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Maple计算

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Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分别表示 分子、分母的级数;

参考文献

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  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Baker, G. A., Jr. Padé approximant页面存档备份,存于互联网档案馆), Scholarpedia页面存档备份,存于互联网档案馆), 7(6):9756.
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP, Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007 [2015-02-24], ISBN 978-0-521-88068-8, (原始内容存档于2016-03-03) 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
  • Gragg, W.B.; The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis [SIAM Review], Vol. 14, No. 1, 1972, pp. 1–62.
  • Padé, H.; Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fractions rationelles, Thesis, [Ann. \'Ecole Nor. (3), 9, 1892, pp. 1–93 supplement.
  • Wynn, P., Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik, 1966, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562