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帕德近似

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亨利·帕德

帕德近似(英語:Padé approximant)是法國數學家亨利·帕德發明的有理多項式近似法。帕德近似往往比截斷的泰勒級數準確,而且當泰勒級數不收斂時,帕德近似往往仍可行,所以多用於在計算機數學中。

例如的泰勒級數

只有在時收斂,不如原函數廣泛。

定義

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給定自然數m和正整數n, 函數 的[m,n]階帕德近似為

並且

對於給定的函數的[m,n]階帕德近似是唯一的。

函數的帕德近似記為

例子

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正弦函數

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的6+6=12階泰勒級數展開為

的12階泰勒級數全同:

其泰勒級數為

與exp(x)本身的泰勒級數展開的前10階完全等同:

又如


雅可比橢圓函數

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第一類 5 階貝塞爾函數

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菲涅耳積分

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Maple計算

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Maple中

pade(f(x),x,[m,n]);

其中 m,n 分別表示 分子、分母的級數;

參考文獻

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  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996
  • Baker, G. A., Jr. Padé approximant頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Scholarpedia頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 7(6):9756.
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods.= Theory and Practice. North-Holland, 1991
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP, Section 5.12 Padé Approximants, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing 3rd, New York: Cambridge University Press, 2007 [2015-02-24], ISBN 978-0-521-88068-8, (原始內容存檔於2016-03-03) 
  • Frobenius, G.; Ueber Relationen zwischem den Näherungsbrüchen von Potenzreihen, [Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)]. Volume 1881, Issue 90, Pages 1–17
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  • Wynn, P., Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table, Numerische Mathematik, 1966, 8 (3): 264–269, doi:10.1007/BF02162562