欧拉猜想

欧拉猜想是由欧拉提出，从费马最后定理引出的猜想，已经确定不成立。

这猜想是说对每个大于2的整数$n$，任何$n-1$个正整数的$n$次幂的和都不是某正整数的n次幂，也就是说以下不定方程无正整数解。

$\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}^{n}=b^{n},\,\forall n>2$

历史

这猜想在1966年被L. J. Lander和T. R. Parkin推翻。他们利用当时最快的电脑CDC 6600找出$n=5$的反例：

$27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}$

1988年，诺姆·埃尔奇斯找出一个对$n=4$制造反例的方法。他给出的反例中最小的如下：

$2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}$

Roger Frye以埃尔奇斯的技巧用电脑直接搜索，找出$n=4$时最小的反例：

$95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}$

参考资料

• Wolfram MathWorld Diophantine Equation -- 7th Powers （页面存档备份，存于互联网档案馆）