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二次域

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代數數論中,二次域是在有理數上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成,其中無平方數因數。若,稱之為實二次域;否則稱為虛二次域複二次域。虛實之分在於是否為全實域

二次域的 研究肇源甚早,起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一,雖然如此,至今仍有一些未解猜想,如類數問題

整數環與判別式

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二次域裡的整數環定義為該域中的代數整數。當時,整數環可描述為,否則為。當時,這些整數稱為高斯整數,當時,稱為艾森斯坦整數

根據上述描述,判別式不難計算:當時判別式為,否則則為

二次域上的分歧理論

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素數。數論關注的問題是如何在中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論,應考慮以下情形:

  • 是慣性的:仍為素理想,此時
  • 分裂:為兩個相異素理想之積,此時
  • 分歧:為某個素理想之平方,此時含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算,可知分歧當且僅當整除的判別式(,取決於);對其餘無窮多個素數,前兩個情形皆會發生,而且其機率在某種意義上相等。

素p分圓域和二次域

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分圓域素p(p>2)次根群所產生二次子域,也是伽羅瓦理論(埃瓦里斯特·伽羅瓦)的一個結論,在有理域上有惟一指數2Galois子群,,二次域特例d=-1時成稱高斯整環,有判別式p的p=4N+1-P,P = 4N +3才有素分解高斯整環分歧條件叫高斯周期(Gaussian period)。

其他的分圓域

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如果一個分圓域,他們有額外的2-扭伽羅瓦群,那麽就至少包含三個二次域。一般通過分圓域二次子域判別式D的可以得到D次單位根組成的子域(D-th roots of unity)。這表示一個事實,即二次域的前導子(conductor) 是判別式D的絕對賦值 (value) 。

參考文獻

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