高斯整环

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高斯整环,指复数域C中,集合{a+bi|a,b ∈Z,i*i=-1}可按整环定义验证,最早由高斯发现。

高斯整环不可以转化成有序环的欧几里德整环,所以是唯一因子分解整环

高斯整环单位元只有1, −1, i及−i 这4个。

高斯整环素元的充要条件为:a×b≠0,a×a+b×b是素数。

高斯整环的剩余类环为: 设(a,b)=1,Z[i]/a+bi={[0],[1],[2],... [a×a+b×b-1]}。

形式是4n+1的普通素数如37,53等,在高斯整环里面都可以由唯一因子分解成两个共轭的高斯素数的乘积,另一类是形式为4n+3(n是整数)的普通素数,如43,11等,它们在高斯整环里面也不能够因子分解,不能因子分解的这种素数称为高斯素数。


1、证明:高斯整环中的单位有且只有

解答:显然是Z[i]的单位,设x=a+bi是Z[i]中的任意单位,则存在y=c+di使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有:ac-bd=1,ad+bc=0 (1)

从而 又ad= –bc 代入前式有:(,即|a

若a=0,则由(1)有bd= –1,只有b=,即。

若,则由|a得b=0, a=,即x=,因此证得:Z[i] 的单位元只有。

2、证明:在整环Z[i]中5有唯一分解,并给出5的一种分解。

解答:因为为素数,则(以及)是Z[i]的不可约元,且显然有分解: 若设不可约) 则

且,这只有,且不妨设

5=ab且则只能,即5=,即5有唯一分解。

參見[编辑]

高斯整數

  • 高斯整环的剩余类环[1]