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映射錐

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映射錐示意圖

數學,特別是同倫論中,映射錐mapping cone)是一個拓撲構造 。它也稱為同倫上纖維homotopy cofiber),也記成

定義

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給定映射 ,映射錐 定義為 關於等價關係 , 商拓撲空間。這裡 表示帶標準拓撲的單位區間 [0,1]。注意有些人(比如喬·彼得·梅)使用相反的約定,交換 0 與 1 的地位。

以圓周為例

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如果 圓周 S1Cf 可以視為 Y圓盤 D2不交並D2邊界上的點 xY 中的點 f(x) 等價起來得到的商空間

比如考慮當 Y 是圓盤 D2 的情形,映射

f: S1Y = D2

S1 作為 D2 邊界的標準包含。則映射錐 Cf 同胚於把兩個圓盤連接起來,拓撲上就是球面 S2 也是通常的帶底圓錐面。

雙映射柱

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映射錐是雙映射柱的特例。雙映射柱是一個圓柱的一個底與空間 X1 通過映射

f1: S1X1

黏貼,而另一個底與空間 X2 通過映射

f2: S1X2.

黏貼。映射錐是雙映射錐(也稱為拓撲推出)的退化情形,其中一個空間是一個單點。

應用

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CW-復形

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CW-復形經常通過映射錐添加一個胞腔

對基本群的影響

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給定空間 X 與環路

代表了 X基本群中的一個元素,我們可構造一個映射錐 Cα。其效果是使得環路 αCα可縮,從而 αCα 的基本群中的等價類單位元素

給一個有生成子與關係呈示的群,我們得到了一個具有那個基本群的 2-復形。

空間偶的同調

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映射錐將空間偶同調變成商空間的簡約同調:

如果 E 是一個同調理論 是一個包含,則 ,對映射錐使用切除定理可得到[1]

另見

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引用

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  1. ^ Peter May "A Concise Course in Algebraic Topology", section 14.2 (PDF). [2008-12-05]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-11-09). 

參考文獻

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