有序域

在數學的一個分支代數中，有序域是一個全序關係通過加法和乘法運算不被改變的域。有序域最常見的例子是實數。

定義

一個滿足下面兩個條件的、擁有全序關係$\leq$的域$(K,+,\cdot )$被定義為有序域：對於任何$K$中的元素$a,b,c$以下兩個條件獲得滿足：

• 若$a\leq b$，則$a+c\leq b+c$。
• 若$0\leq a$且$0\leq b$，則$0\leq a\cdot b$。

大於0的元素被稱為是正的，小於0的元素被稱為是負的。

特性

由以上定義可以直接推導出以下特性（$a,b,c,d$是$K$的元素）：

• 一個正的元素的負數是負的，一個負的元素的負數是正的：即任何$K$中的$a$，假如$a\neq 0$則$-a<0<a$或$a<0<-a$。
• 不等式可以相加：$a\leq b$和$c\leq d$則$a+c\leq b+d$。
• 不等式可以與正元素相乘：$a\leq b$和$0\leq c$則$ac\leq bc$。
• 平方數不是負的：$0\leq a^{2}$，尤其$0<1$。
• 通過數學歸納法可以推導出任何一的有限的和是正的：$0<1+1+\cdots +1$。

結構

所有有序域都具有特徵數0。這個結論直接出於上述的最後一個特性$0<1+1+\cdots +1$。

每個有序域的子域也是有序域。任何含特徵數0的域其最小子域與有理數同構，且這個子域的排序與$\mathbb {Q}$一致。

假如一個有序域中的任何元素都介於兩個有理數之間的話，則該域具有阿基米德性質。比如實數是具有阿基米德性質的，而超實數則不具有。

有序域$K$的排序可用來定義$K$的拓撲空間，這個拓撲空間可由$\{x\in K\mid x<a\}$和$\{x\in K\mid x>a\}$作為準基來生成，稱之為序拓撲。加法和乘法運算相對於這個拓撲空間是連續的。

例子

• 有理數$\mathbb {Q}$組成最小的有序域
• 實數$\mathbb {R}$和其中的任何部分域
• 超實數