現值

在給定的時刻，一次（或多次）該時刻之後發生的現金（現金流）在該時刻的價值（總和）稱為現值。這個概念反映了金錢的時間價值，以及金融風險等諸多因素。現值計算為發生時間不同的現金流提供了基準相同的比較方法，因而被廣泛應用於商業和經濟學中。

背景

如果有機會在「今天得到一百元」和「一年後得到一百元」之間選擇——實際利率為正，除時間外兩者條件完全相同——一個理性人毫無疑問將會選擇「今天得到一百元」。這類現象被經濟學家稱為時間偏好。時間偏好可以用拍賣無風險債券（比如美國國債）來度量：如果一張一年期面值100元的債券，其拍賣價格是80元，那麼一年後的100元其現值就是80元。這種差異的產生，是因為持有人可以將錢存入銀行或通過其他安全的投資途徑來產生收益。

人們對於所持有的資金有兩種支配方式：消費和儲蓄。以儲蓄代替消費所獲得的補償就是，可以從銀行（債務人）處獲得利息，即資金價值是增長的。

不過，為了衡量現時的金錢在一段給定時間後的價值，經濟學上採用「複利」來計算。如今的多數精算計算中默認採用無風險利率，對應最低保障利率，如銀行儲蓄賬戶所能提供者。若要從購買力角度衡量，應該使用實際利率（名義利率減去通貨膨脹率）計算。

計算現時金錢未來價值過程（比如，今天的100元五年後價值幾何？）稱為累積（capitalization）。相反的過程——計算未來金錢的現時價值，比如五年後的100元相當於今天的多少錢——稱為折現。

由此可見，上面提到的問題——如果有機會在「今天得到一百元」和「一年後得到一百元」之間選擇——理性的選擇是得到現時的現金100元。如果付款時間不得不推後到一年後，假設儲蓄利率是5%，則需要付出至少105元才能等同於現時付出100元（現在的100元與一年後的105元等價）。因為如果現在將100元現金存入銀行，一年後儲蓄人將得到105元。

計算

應用最廣泛的金錢時間價值模型是複利。假設某人以利率 $\,i\,$ （ $\,i\,$ = 5%與 $\,i\,$ = 0.05是等同的）借入或借出一筆款項，期限為 $\,t\,$ 年，則 $\,t\,$ 年後的 $\,C\,$ 個貨幣單位其現值表達為：

C_{t}=C(1+i)^{-t}\,={\frac {C}{(1+i)^{t}}}\,

上式也可以看作終值計算中時間為負的情況。

$\,t\,$ 年後的 $\,C\,$ 個貨幣單位現時的購買力也可以用上式計算，此時 $\,i\,$ 表示通貨膨脹率。

表達式 $\,(1+i)^{-t}$ 涵蓋了各種現值計算的不同情況。同一組現金流可能根據利率的不同被分為數個時段，例如，從此時算起的第一年內的利率為 $\,i_{1}\,$ ，第二年內利率為 $\,i_{2}\,$ ，那麼兩年後的 $\,C\,$ 個貨幣單位的現值表達為：

\mathrm {PV} ={\frac {C}{(1+i_{1})(1+i_{2})}}\,

理論拓展

現值具有可加性。一組現金流總的現值即等於單筆資金的現值之總和。

實際上，利率恆定（設為 $\,i\,$ ）的一組現金流的現值與變換變量（設為 $\,s\,$ ）的拉普拉斯變換在數學上是等價的。若現金流的發生時間是離散的，應該用各自現值的和代替變換中的積分；若現金流在一段時間內是幾乎持續發生的，則其現值可近似看作某個連續函數的拉普拉斯變換。

利率的選擇

這裡使用的利率是無風險利率。如果某投資項目風險為零，則與收益率相同的風險大於零的項目相比，人們更傾向於投資前者。風險的存在常常可以由風險溢價來反映。風險溢價可以參考風險相類似的項目的收益率來決定。因此，投資者將收益的不確定性考慮在內是可能的。

年金，永久年金及其他常見形式

許多付款和資金安排（包括債券、分期付款、租賃契約、薪金、會員年費、年金、直線型折舊）常常要求「規律的」付費，即持續以相等時間間隔收取的定額款項。「年金」這一概念即用於描述這類以固定的時間周期以相對固定的方式發生的現金流。年金的現值可以被表達為一個等比數列的總和。

考慮在 $t=1,2,...,n$ 時刻分別發生數額為 $C$ 的款項，總共發生 $n$ 次的現金流（顯然，這是年金）。將在未來發生的款項根據換算周期內的利率 $i$ 折現，這個年金的現值據此計算：^[1]

PV\,=\,{\frac {C}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]

\mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,

上式同樣也適用於發生時間不同但等時間間隔的年金，比如，從第一年到第十年每年年底付款100元；其中， $i$ 是換算周期內對應的利率或當期收益率。^[2]

若年金的支付永遠進行下去，沒有停止的那一天，這種年金被稱為永久年金。^[3]永久年金現值的計算即令上式中 $n\to \infty$ ，則 $1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}\to 1$ ，

PV\,=\,{\frac {C}{i}}

因此，前式可以看作是一個永久年金的現值減去一個推遲了 $n$ 年的永久年金的現值所得。

需要注意的是，這些計算公式只有在滿足下述條件時才能成立：

無需考慮通貨膨脹，或者所用利率已將通貨膨脹考慮在內。
將來的支付具有相當高的發生可能性，或者利率已將信用風險考慮在內。

要了解更多，請參見金錢的時間價值。

參見

參考文獻

^ Smart, Scott. Corporate Finance. Stamford: Thomson Learning. 2008: 86. ISBN 184480562X.
^ Khan, M.Y. Theory & Problems in Financial Management. Boston: McGraw Hill Higher Education. 1993. ISBN 9780074636831.
^ 吳嵐, 黃海. 金融数学引论. 北京: 北京大學出版社. 2005: 36. ISBN 9787301083734.

[1] Smart, Scott. Corporate Finance. Stamford: Thomson Learning. 2008: 86. ISBN 184480562X.

[2] Khan, M.Y. Theory & Problems in Financial Management. Boston: McGraw Hill Higher Education. 1993. ISBN 9780074636831.

[3] 吳嵐, 黃海. 金融数学引论. 北京: 北京大學出版社. 2005: 36. ISBN 9787301083734.

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