配方法

動畫描繪了配方法的過程。(動畫版 GIF)

配方法（英語：Completing the square）。

將下方左邊的多項式化成右邊的形式，就是配方法的目標：

ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k

，其中

h

和

k

是常數。

簡介

在基本代數中，配方法是一種用來把二次函數化為一個多項式的平方與一個常數的和的方法。這種方法是把以下的多項式 $ax^{2}+bx\,\!$ 化為 $(cx+d)^{2}+e\,\!$ 以上表達式中的係數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 和 $e$ 本身也可以是表達式，可以含有除 $x$ 以外的變量。

配方法通常用來推導出二次方程的求根公式：

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&{}=0\\ax^{2}+bx&{}=-c\\x^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)x&{}=-{\frac {c}{a}}\\\end{aligned}}

我們的目的是要把方程的左邊化為完全平方。由於問題中的完全平方具有 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ 的形式，可導出 $2xy={\frac {b}{a}}x$ ，因此 $y={\frac {b}{2a}}$ 。等式兩邊加上 $y^{2}=({\frac {b}{2a}})^{2}$ ，可得：

{\begin{aligned}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&{}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&{}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\x&{}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}

這個表達式稱為二次方程的求根公式。

幾何學的觀點

考慮把以下的方程配方： $x^{2}+bx=a.\,$ 由於 $x^{2}$ 表示邊長為 $x$ 的正方形面積， $bx$ 表示邊長為 $b$ 和 $x$ 的矩形面積，因此配方法可以視為矩形的操作。

如果嘗試把矩形 $x^{2}$ 和兩個 ${\frac {b}{2}}\,x$ 合併成一個更大的正方形，這個正方形還會缺一個角。把以上方程的兩端加上 $\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}$ ，正好是欠缺的角的面積，這就是「配方法」的名稱的由來。

一般公式

為了得到 $ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e,\,$ 我們設

{\begin{aligned}c&{}={\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=-d^{2}\\&{}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\\&{}=-{\frac {b^{2}}{4a}}.\end{aligned}}

得出 $ax^{2}+bx=\left({\sqrt {a}}\,x+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}.\,$

證明

注意 $\left(cx+d\right)^{2}+e=c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e$ 。為了把 $c^{2}x^{2}+2cdx+d^{2}+e\!$ 化為 $ax^{2}+bx+f\!$ 的形式，我們必須進行以下的代換：

{\begin{aligned}a&{}=c^{2},\\b&{}=2cd,\\f&{}=d^{2}+e.\end{aligned}}

現在， $a$ 、 $b$ 和 $f$ 依賴於 $c$ 、 $d$ 和 $e$ ，因此我們可以把 $c$ 、 $d$ 和 $e$ 用 $a$ 、 $b$ 和 $f$ 來表示：

{\begin{aligned}c&{}=\pm {\sqrt {a}},\\d&{}={\frac {b}{2c}}\\&{}=\pm {\frac {b}{2{\sqrt {a}}}},\\e&{}=f-d^{2}\\&{}=f-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}

當且僅當 $f$ 等於零且 $a$ 是正數時，這些方程與以上是等價的。如果 $a$ 是負數，那麼 $c$ 和 $d$ 的表達式中的±號都表示負號──然而，如果 $c$ 和 $d$ 都是負數的話，那麼 $(cx+d)^{2}$ 的值將不受影響，因此 $\pm$ 號是不需要的。

例子

具體例子

{\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=5\left(x^{2}+{7 \over 5}x\right)-6\\&{}=5\left[x^{2}+{7 \over 5}x+\left({7 \over 10}\right)^{2}\right]-6-5\left({7 \over 10}\right)^{2}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-6-{7^{2} \over 2\cdot 10}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{6\cdot 20+7^{2} \over 20}\\&{}=5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}\end{aligned}}

從中我們可以求出多項式為零時 $x$ 的值，也就是多項式的根。

{\begin{aligned}5x^{2}+7x-6&{}=0\\5\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}-{169 \over 20}&{}=0\\\left(x+{7 \over 10}\right)^{2}&{}={169 \over 100}\\&{}=\left({13 \over 10}\right)^{2}\\x+{7 \over 10}&{}=\pm {13 \over 10}\\x&{}={-7\pm 13 \over 10}\\&{}={3 \over 5}{\mbox{ or }}-2\end{aligned}}

我們也可以求出 $x$ 取得什麼值時，以下的多項式為最大值或最小值： $y=5x^{2}+7x-6$ 最高次數的項 $x^{2}$ 的係數為正，因此 $x$ 的絕對值越大， $y$ 就越大。但是， $y$ 有一個最小值，在任何地方都不能比它更小。從完全平方的形式中， $y=5\left(x+{\frac {7}{10}}\right)^{2}-{\frac {169}{20}}$ ，我們可以看到，如果 $x=-{7 \over 10}$ ，那麼 $y=-{\frac {169}{20}}=-8.45$ ；但如果 $x$ 是任何其它的數， $y$ 都是 $-{\frac {169}{20}}$ 加上一個非零的平方數。由於非零實數的平方都是正數，因此當 $x$ 不為 $-{\frac {7}{10}}$ 時， $y$ 一定大於−8.45。所以， $(x,y)=\left(-{\frac {7}{10}},-{\frac {169}{20}}\right)=(-0.7,-8.45)=$ 就 $y$ 的最小值。

微積分例子

假設我們要求出以下函數的原函數： $\int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx.\,\!$ 這可以用把分母配方來完成。分母是： $9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241$ 把兩邊 $x^{2}-10x$ 加上 $({\frac {10}{2}})^{2}=25$ ，就可以得到一個完全平方， $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$ 。分母變為：

{\begin{aligned}9(x^{2}-10x)+241&{}=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)\\&{}=9(x-5)^{2}+16\end{aligned}}

因此積分為：

{\begin{aligned}\int {\frac {1}{9x^{2}-90x+241}}\,dx&{}={\frac {1}{9}}\int {\frac {1}{(x-5)^{2}+({\frac {4}{3}})^{2}}}\,dx\\&{}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\end{aligned}}

複數例子

考慮以下的表達式： $|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c$ 其中 $z$ 和 $b$ 是複數， $z^{*}$ 和 $b^{*}$ 分別是 $z$ 和 $b$ 的共軛複數， $c$ 是一個實數。利用恆等式 $\left\vert u\right\vert ^{2}=uu^{*}$ ，我們可以把它寫成： $|z-b|^{2}-|b|^{2}+c$ 這顯然是一個實數。這是因為：