立方根

$y={\sqrt[{3}]{x}}\quad (x\geq 0)$的圖像

如果一個數$x$的立方等於$a$，那麼這個數$x$就是$a$的立方根，其中$a$稱為被開方數，而$x$可以是正數、0、負數或虛數。例如3的立方為27，那麼這個數3就是27的一個立方根（在實數範圍內）。若$x$是正實數，這個乘積相當於一個邊長為$x$的立方體的體積。

符號

在實數系中，實數$a$的立方根通常用${\sqrt[{3}]{a}}$表示，可讀作「$a$的立方根」，「立方根$a$」或「根號$a$開三次方」。

值得注意的是，某個實數$a$的立方根在複數系中可能有1個，或者2個，或者3個，但在實數系中有且僅有1個。即在實數系中，實數$a$的立方根唯一確定。習慣上，三次根號${\sqrt[{3}]{a}}$僅用來表示實數解。例如：${\sqrt[{3}]{1}}$僅表示實數1，而不表示複數${\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$，與${\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$。

1的立方根

即解$x^{3}=1$，解法如下：

$\Rightarrow x^{3}-1=0$

$\Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0$（立方差）

$\Rightarrow x-1=0$或$x^{2}+x+1=0$

$\Rightarrow x=1$或$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$（公式解）

令$\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$，則$\omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$；反之，令$\omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}$，則$\omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$。由以上的式子可看出$\omega$的特性有：

• ${{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0$
• ${{\omega }^{3}}=1$（將$\omega$代回$x^{3}=1$求得）

故$\omega$可代表${\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$中的任何一數，即$\omega$為1的立方虛根。

數值方法

• 牛頓法：$x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)$
• 哈雷法：$x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)$

符號史

1220年意大利人斐波那契第一次使用$\operatorname {R} x$來表達立方根，$\operatorname {R}$源於拉丁文radix的首字母，意思為「根、方根」。

十七世紀初時，法國數學家笛卡兒（1596－1650）在他的著作幾何學中第一次使用不連續的「√」及「￣」表示根號，其中「√」為小寫r的變形。到了18世紀中葉，數學家盧貝（Loubere）將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（根指數為2時，省略不寫）。從而，形成了我們現在所用的開方符號${\sqrt {\color {white}x}}$。

參見

• 方根

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 立方根. MathWorld.