勒壤得轉換(英語:Legendre transformation)是一個在數學和物理中常見的技巧,得名於阿德里安-馬裡·勒壤得(Adrien-Marie Legendre)。該操作是一個實變量的實值凸函數的對合變換。它經常用於經典力學中從拉格朗日形式到哈密頓形式的推導、熱力學中熱力學勢的推導以及多變量微分方程的求解。
為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構,表述此系統的函數關係 改用一個新函數 來表示,其變數 是 的導數, 。而 的值是如右圖藍線在 y 軸的負截距
換句話說,從 x 值到 y 值的函數,轉換成 f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數
這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的,因此稱為勒壤得轉換。稱函數 為 的勒壤得轉換;
用方程式表示
- 。
此式子表示 中的 u 對 而言是個參數,且參數 u 會滿足 的 。即求算表達式關於變數 的極值。
為方便討論,把討論限定在 為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 也就是斜率不變的狀況下,對每個而言,所有與曲線相交且斜率為的直線族為 。若令,該直線即是在的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知,在的情況下,值是最小的,也就是說直線方程式中這部分是最大的,而正好 ,正是原方程式所求的極值。
勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係(duality)的一個應用。函數 設定的函數關係可以用 點集合來表示;也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下,切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。
若將勒壤得轉換廣義化,則會變為勒壤得-芬伽轉換(Legendre-Fenchel transformation)。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。
給定區間I ⊂ ℝ和凸函數f : I → ℝ,則其勒讓德變換為函數f* : I* → ℝ,
其中表示上確界,定義域為
當f(x)為凸函數時,這個函數有良好的定義。
不難將勒讓德變換推廣到定義在凸集X ⊂ ℝn 上的凸函數f : X → ℝ:其變換f * : X* → ℝ為定義在
上的函數
其中表示x*和 x的點積。
對於實軸上具有可逆一階導數的凸函數,其勒讓德變換
的一階導數與的一階導數互為反函數,反過來說,這個條件可以給出至多相差一個常數的。
更詳細地定義勒壤得轉換,為了求得 關於 的最大值,設定 關於 的偏導數為零:
- 。
則
- 。(1)
這表達式必為最大值。因為,凸函數 的二階導數是負數:
- ;
用方程式 (1) 來計算函數 的反函數 。代入 方程式,即可以得到想要的形式:
- 。
計算 的勒壤得轉換,所需的步驟為:
- 找出導函數 ,
- 計算導函數 的反函數 ,
- 代入 方程式來求得新函數 。
這定義切確地闡明:勒壤得轉換製造出一個新函數 ;其新自變數為 。
另外一種勒壤得轉換的定義是:假若兩個函數 與 的一階導數是互相的反函數;
- ,
或者,
- ,
則 與 互相為彼此的勒壤得轉換。
依照定義,
- ,
- 。
思考下述運算:
- 。
所以,
- ;
這裏, 。
這答案是標準答案;但並不是唯一的答案。設定
- ,
也可以滿足定義的要求。在某些情況下(例如:熱力勢(thermodynamic potential),會採用非標準的答案。除非另外註明,此頁面一律採用標準答案。
以下討論,函數 的勒壤得轉換皆標記為 。
勒壤得轉換有以下這些標度性質:
- ,
- ,
由此可知,一個 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 次齊次函數;這裏,
- 。
- ,
- 。
- 。
讓 成為一個從 到 的線形變換。對於任何定義域為 的凸函數 ,必有
- ;
這裏, 是 的伴隨算子定義為
- 。
指數函數
的勒讓德變換為
- ,
因為它們的一階導數 ex與 ln p互為反函數。
在熱力學裏,使用勒壤得轉換主要的目的是,將一個函數與所含有的一個自變數,轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數,(此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數);將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積,得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢(thermodynamic potential)之間作轉換。例如,內能 是外延量(extensive)熵 ,體積 ,與化學成份(chemical composition) 的顯函數
- 。
對於 ,函數 (非標準的)勒壤得轉換為焓函數 :
- ,
- 。
一個熵與內含量(intensive)壓力的函數。當壓力是常數時,這函數很有用。
對於 ,函數 勒壤得轉換為吉布斯能函數 :
- ,
- 。
對於 ,函數 勒壤得轉換為亥姆霍茲自由能函數 :
- ,
- 。
這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。
在經典力學裏,勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述,或反導之。拉格朗日量 是廣義坐標 與廣義速度 的函數;而哈密頓量 將函數的自變量轉換為廣義坐標 與廣義動量 :
- ,
- 。
正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變, ,而同時維持哈密頓方程式的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為
- ,
- ,
- ;
這裏, 是舊正則坐標, 是新正則坐標, 是舊哈密頓量, 是新哈密頓量, 是生成函數。
- Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.
- Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.