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偽全純曲線

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拓撲學幾何學中,偽全純曲線(或J-全純曲線)是黎曼曲面殆複流形光滑映射,並滿足柯西-黎曼方程。偽全純曲線在1985年由米哈伊爾·格羅莫夫提出,自此徹底改變了辛流形研究。特別是,它們導致了格羅莫夫–威滕不變量弗洛爾同調,並在弦理論中發揮了重要作用。

定義

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X為殆複流形,具有殆復結構J。令C是光滑黎曼曲面(也叫復曲線),具有復結構jX中的偽全純曲線是映射,滿足柯西-黎曼方程

由於,這條件等價於

意味着微分是複線性的,即J將每個切空間

映射到自身。出於技術原因,通常最好引入某種不齊次項,並研究滿足微擾柯西-黎曼方程

的映射。更具體地說,滿足這方程的偽全純曲線可以叫做-全純曲線。擾動項有時被假定為由哈密頓量生成的(特別是弗洛爾理論中),但一般來說不需要。

據定義,偽全純曲線總是參數化的。在應用中,人們通常真正感興趣的是未參數化的曲線,即X的嵌入(或浸入)雙子流形,因此可通過保相關結構的域重參數化來進行模擬。在格羅莫夫–威滕不變量的情形下,我們只考慮固定虧格gC,並在C上引入n標記點(或稱穿刺,puncture)。一旦標記點的歐拉示性數為負,C就將只有有限多保標記點的全純重參數化。域曲線C是曲線的德利涅-芒福德模空間的一個元素。

與經典柯西-黎曼方程的類比

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經典情形是XC都是簡單平面。實坐標中

其中。將這些矩陣按兩個不同階數相乘後,立即得到方程

等價於經典柯西-黎曼方程

在辛拓撲中的應用

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雖然偽全純曲線可對任何殆複流形定義,但當J辛形式相互作用時,偽全純曲線尤其有趣。若且唯若殆復結構J滿足,對所有非零切向量v

J-馴順(tame)的。馴順性意味着公式

X上定義了黎曼度量。格羅莫夫證明,對給定的-馴順J的空間非空、且是可收縮的。他用這一理論證明了關於球到圓柱的辛嵌入的非擠壓定理

格羅莫夫證明,偽全純曲線的特定模空間(滿足附加的特定條件)是的,並描述了偽全純曲線在只假定有限能量時退化的方式。(有限能量條件尤其適用於辛流形中有固定同調類的曲線,其中J-馴順或-相容的)。這一格羅莫夫緊性定理現在利用穩定映射得到了極大推廣,使得格羅莫夫–威滕不變量的定義成為可能,它可以計算辛流形中的偽全純曲線。

偽全純曲線的緊模空間也用於構造弗洛爾同調安德烈斯·弗洛爾(及後來的學者,在更廣的廣義上)用它來證明弗拉基米爾·阿諾德關於哈密頓向量場定點數的著名猜想。

在物理學中的應用

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在II類弦論中,我們考慮弦沿着卡拉比-丘3-流形中的路徑運動時描繪的面。根據量子力學路徑積分表述,我們希望計算所有此類面的空間的某些積分。這空間是無限維的,因此在數值上很難算出積分。不過,在A-twist下,我們可以推導出這些面由偽全純曲線參數化,於是路徑積分可簡化為偽全純曲線(更確切地說是穩定映射)模空間上的積分,是有限維的。例如,閉IIA型弦論中,這些積分正是格羅莫夫–威滕不變量

另見

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參考文獻

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  • Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
  • Mikhail Leonidovich Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, pgs. 307-347.
  • Donaldson, Simon K. What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (PDF). Notices of the American Mathematical Society. October 2005, 52 (9): 1026–1027 [2008-01-17]. (原始內容存檔 (PDF)於2024-01-12).