維塔利集合

維塔利集合是一個勒貝格不可測的集合的例子，以朱塞佩·維塔利命名。維塔利定理就是關於這種集合存在與否的存在性定理，它是一個非構造性的結果。維塔利集合有無窮多個，它們的存在性是在選擇公理的假設下證明的。

不可測集的重要性

有些集合有確定的「長度」或「質量」。例如，區間[0, 1]具有長度1；更一般地，區間[a, b]，其中a ≤ b，具有長度b − a。如果我們把這種區間視為金屬棒，則它們有確定的質量。如果[0, 1]的棒重1千克，則[3, 9]的棒重6千克。集合[0, 1] ∪ [2, 3]是由兩個長度為一的區間所組成，因此總長度為2。用質量來表示，就是兩個質量為1的棒，因此總質量為2。

這裏有一個很自然的問題：如果E是實數軸的任意一個子集，它有沒有「質量」或「長度」？作為一個例子，我們可能要問，有理數集的質量是什麼。它們在實數軸上十分均勻地分佈，因此我們就可能要猜想，有理數集就是沒有質量的。

解決方法是使用測度論。在這個背景下，勒貝格測度把質量b − a分配於區間[a, b]，而把質量0分配於有理數集。任何一個有確定質量的集合都稱為「可測」的。從勒貝格測度的構造（例如，使用外測度），仍然不能明顯看出有沒有不可測的集合。

構造和證明

如果x和y是兩個實數，且x − y為有理數，則我們記x ~ y，並稱x和y為等價的；~是一個等價關係。對於每一個x，都存在R的一個子集[x] = {y ∈ R : x ~ y}，稱為x的等價類。這些等價類的集合劃分了R。根據選擇公理，我們可以選擇一個集合$V\subset [0,1]$，在每一個等價類中都正好含有一個代表（也就是說，對於任何等價類[x]，集合V ∩ [x]是單元素集合）。我們稱V為維塔利集合。

維塔利集合是不可測的。為了證明這個命題，我們假設V是可測的。從這個假設，我們將證明一個荒唐的結論：就是a + a + a + ……（無窮多個相同的數的和）是位於1和3之間的。由於得到了這個荒唐的結論，問題就一定出在未證明的假設（V是可測的）了。

首先，我們設q₁，q₂，……為區間[−1, 1]內的有理數的列舉（有理數集是可數的）。從V的構造中，注意集合$V_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}$，k = 1，2，……是兩兩不交的，並進一步注意到$[0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]$。（要證明第一個包含，考慮任何[0,1]內的實數x，並設v為V中等價類[x]的代表；那麼對於某個[-1,1]內的有理數，便有x −v = q（例如q = q_l），因此x位於V_l內。）

從勒貝格可測集合的定義中，可以證明所有這類的集合都滿足以下兩個性質：

1. 測度是可數可加的，也就是說，如果$A_{i}$是最多可數個兩兩不交的集合，那麼$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$。

2. 測度是平移不變的，也就是說，對於任何實數x，都有$\mu (A)=\mu (A+x)$。

現在考慮以上給出的併集的測度μ。因為μ是可數可加的，它一定也滿足單調的性質；也就是說，如果A⊂B，則μ(A)≤μ(B)。因此，可知：

$1\leq \mu \left(\bigcup _{k}V_{k}\right)\leq 3.$

根據可數可加性，我們有：

$\mu \left(\bigcup _{k}V_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (V_{k})$

這是因為V_k是兩兩不交的。由於平移不變性，可知對於每一個k = 1，2，……，μ(V_k) = μ(V)。把這個結果代入上式，可得：

$1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\mu (V_{k})=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (V)\leq 3.$

它是可數無窮多個非負實常數的和。如果這個常數是零，則和也是零，因此肯定不會大於或等於一。如果這個常數大於零，則和為無窮大，特別地，它肯定不會小於或等於3。

這個結論是荒唐的，且由於平移不變性和可數可加性就是我們使用的一切，於是V便一定是不可測的。

參見

• 不可測集
• 巴拿赫-塔斯基悖論

參考文獻

• Herrlich, Horst: Axiom of Choice, page 120. Springer, 2006.