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自同態

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在數學中,自同態(英語:endomorphism)是從一個數學物件到它本身的態射(或同態)。例如,向量空間V的自同態是線性映射ƒ: V → V,而G的自同態則是群同態ƒ: G → G,等等。一般地,我們可以討論任何範疇中的自同態,在集合範疇中,自同態就是從集合S到它本身的函數。

在任何範疇中,X的任何兩個自同態的複合也是X的自同態。於是可以推出,X的所有自同態的集合形成了一個么半群,記為End(X)(或EndC(X),以強調範疇C)。

自同構

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X可逆自同態稱為自同構。所有自同構的集合是End(X)的一個子群,稱為X自同構群,記為Aut(X)。在以下的圖中,箭頭表示蘊含:

自同構 同構
自同態 同態

自同態環

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阿貝爾群A的任何兩個自同態都可以相加起來,根據規則(f + g)(a) = f(a) + g(a)。在這個加法下,阿貝爾群的自同態形成了一個環(自同態環)。例如,Zn的自同態的集合是所有整系數n × n矩陣的環。向量空間或的自同態也形成了一個環,像預加法範疇中的任何物件的自同態一樣。非阿貝爾群的自同態生成了一個代數結構,稱為擬環英語Near-ring

參見

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外部連結

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